Zéros, périodes et paramétrage du cercle

(i) Soit $x$ réel et $m = k(x)$ l'entier tel que $x - m\pi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2[$ (Cosinus et sinus sur ℝ, (ii)). Alors $\cos x = (-1)^m \bar c(x - m\pi)$, et $\bar c$ ne s'annule sur $[-\frac\pi2, \frac\pi2[$ qu'en $-\frac\pi2$, puisque $c > 0$ sur $I_0$. Donc $\cos x = 0$ si et seulement si $x = m\pi - \frac\pi2$, qui est dans $\frac\pi2 + \pi\mathbb Z$ ; réciproquement, $\cos(\frac\pi2 + m\pi) = (-1)^m \bar c(\frac\pi2) = 0$.

De même, $\bar s$ ne s'annule sur $[-\frac\pi2, \frac\pi2[$ qu'en $0$ : on a $\bar s(-\frac\pi2) = -1$, et sur $I_0$, $s = \tan \cdot c$ ne s'annule que là où $\tan$ s'annule, c'est-à-dire en $0$, par injectivité. Donc $\sin x = 0$ si et seulement si $x \in \pi\mathbb Z$.

Les zéros strictement positifs du cosinus sont les $\frac\pi2 + m\pi$ avec $m \geqslant 0$ ; le plus petit est $\frac\pi2$.

(ii) Si $\cos x = 1$, alors $\sin^2 x = 0$, donc $x = m\pi$ pour un entier $m$ par (i), et $\cos(m\pi) = (-1)^m\cos 0 = (-1)^m$, de sorte que $m$ est pair. Réciproquement, $\cos(2k\pi) = \cos 0 = 1$ par périodicité (Formules d'addition, (v)).

Si $T > 0$ est une période du cosinus, alors $\cos T = \cos 0 = 1$, donc $T \in 2\pi\mathbb Z$. Si $T > 0$ est une période du sinus, les formules d'addition donnent $$\cos T = \sin\Big(\frac\pi2 + T\Big) = \sin\frac\pi2 = 1,$$ et de même $T \in 2\pi\mathbb Z$. Réciproquement, les $2k\pi$ sont des périodes (Formules d'addition, (v)).

(iii) Continuité. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont continues au sens de l'analyse, donc pour la topologie usuelle de $\mathbb R$ (Bijection continue, fin de la démonstration). L'application $\gamma$, dont les deux composantes sont continues, est continue de $\mathbb R$ dans $\mathbb R^2$ (Topologie produit), puis de $\mathbb R$ dans $S^1$ muni de la topologie induite (Topologie induite).

Injectivité modulo $2\pi$. Si $\gamma(s) = \gamma(t)$, les formules d'addition et la parité (Formules d'addition, (iii) et (iv)) donnent $$\begin{aligned} \cos(s - t) &= \cos s\cos t + \sin s \sin t \\ &= \cos^2 t + \sin^2 t = 1, \end{aligned}$$ donc $s - t \in 2\pi\mathbb Z$ par (ii). La réciproque est la périodicité. Deux points distincts de $[a, a + 2\pi[$ ont un écart dans $]0, 2\pi[$, qui n'est pas dans $2\pi\mathbb Z$ : la restriction est injective.

Surjectivité. Soit $(u, v) \in S^1$. Si $u > 0$, posons $y = \arctan\frac vu \in I_0$, de sorte que $\tan y = \frac vu$. Comme $1 + \frac{v^2}{u^2} = \frac{1}{u^2}$ et que $\frac1u$ est le réel positif de carré $\frac{1}{u^2}$, $$\begin{aligned} \cos y &= c(y) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{u^2}}} = u, \\ \sin y &= \tan y \cdot \cos y = v. \end{aligned}$$ Ce $y$ est le seul de $I_0$ qui convienne, puisque $\gamma(y) = (u, v)$ impose $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac vu$.

Si $u < 0$, le point $(-u, -v)$ est dans $S^1$ avec $-u > 0$ : il s'écrit $\gamma(y)$, et $(u, v) = \gamma(y + \pi)$. Si $u = 0$, alors $v^2 = 1$, et $(0, \pm 1) = \gamma(\pm\frac\pi2)$. Dans tous les cas, $(u, v) = \gamma(t_0)$ pour un réel $t_0$.

Soit $n$ le plus grand entier tel que $2n\pi \leqslant t_0 - a$, qui existe puisque l'ensemble de ces entiers est non vide et majoré par la propriété d'Archimède (Archimède, densité de ℚ, et Ordre de ℤ, (ii)). Alors $t = t_0 - 2n\pi$ est dans $[a, a + 2\pi[$, et $\gamma(t) = \gamma(t_0) = (u, v)$ par périodicité.

(iv) La relation $\sim$ est une relation d'équivalence, puisque $2\pi\mathbb Z$ contient $0$ et est stable par différence. Notons $p : \mathbb R \to \mathbb R/2\pi\mathbb Z$ la projection. Par (iii), $\gamma$ est constante sur chaque classe : elle définit une application $\tilde\gamma : \mathbb R/2\pi\mathbb Z \to S^1$ telle que $\tilde\gamma \circ p = \gamma$, bijective par (iii), et continue par la propriété de la topologie quotient (Topologie quotient).

L'espace $S^1$ est séparé. Deux points distincts de $\mathbb R^2$ diffèrent par une coordonnée, disons $x_1 \neq y_1$ ; avec $r = \frac{|x_1 - y_1|}{2}$, les cylindres $]x_1 - r, x_1 + r[ \times \mathbb R$ et $]y_1 - r, y_1 + r[ \times \mathbb R$ sont des ouverts disjoints qui les contiennent (Topologie produit). Donc $\mathbb R^2$ est séparé, et $S^1$ aussi (Espaces séparés, (iii)).

L'espace $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ est séparé : si $\xi \neq \eta$, alors $\tilde\gamma(\xi) \neq \tilde\gamma(\eta)$ ont des voisinages ouverts disjoints $V$ et $W$ dans $S^1$, et $\tilde\gamma^{-1}(V)$, $\tilde\gamma^{-1}(W)$ sont des ouverts disjoints qui contiennent $\xi$ et $\eta$.

Il est compact : le segment $[0, 2\pi]$ est compact (Borel-Lebesgue), la restriction de $p$ à ce segment est continue (Topologie induite) et surjective, puisque toute classe rencontre $[0, 2\pi[$ par l'argument de (iii) avec $a = 0$, et l'image d'un compact par une application continue à valeurs dans un espace séparé est compacte (Parties compactes, (iii)).

L'application $\tilde\gamma$ est donc une bijection continue d'un compact sur un espace séparé : c'est un homéomorphisme (Bijection d'un compact).