Théorème 3Analyse complexe

La fonction exponentielle

L'exponentielle réelle a été construite en analyse réelle comme la réciproque du logarithme (Exponentielle), et le nœud Série de l'exponentielle l'a écrite comme somme de la série $\sum x^n/n!$ . Pour $z \in {\mathbb C}$ , on pose $\exp z = \sum_{n \geqslant 0} \frac{z^n}{n!} ;$ le point (iv) montre que c'est un prolongement de l'exponentielle réelle, ce qui justifie la notation. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont le cosinus et le sinus réels du nœud Cosinus et sinus sur ℝ.

Énoncé

(i) La série a un rayon infini ; $\exp$ est holomorphe sur $\mathbb C$ , et $\exp' = \exp$ .

(ii) $\exp(z + w) = \exp z \exp w$ ; en particulier $\exp z \neq 0$ et $\exp(-z) = 1/\exp z$ .

(iii) $\overline{\exp z} = \exp \bar z$ . Pour tout réel $t$ , $\exp(it) = \cos t + i\sin t ;$ en particulier $|\exp(it)| = 1$ , ce qui redonne $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

(iv) Sur ${\mathbb R}$ , $\exp$ coïncide avec l'exponentielle réelle du nœud Exponentielle : elle y est strictement positive et strictement croissante. Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont dérivables, avec $\cos' = -\sin$ et $\sin' = \cos$ .

Démonstration

(i) Pour tout $r > 0$ , $r^n/n! \to 0$ , puisque le rapport de deux termes consécutifs, $r/(n + 1)$ , devient inférieur à $\frac12$ : la suite est bornée, et $R = +\infty$ . Le nœud Dérivation terme à terme donne $\exp' = \sum_{n \geqslant 1} \frac{n z^{n-1}}{n!} = \exp$ .

(ii) Fixons $a \in \mathbb C$ et posons $g(z) = \exp(z)\exp(a - z)$ , holomorphe de dérivée $\exp(z)\exp(a - z) - \exp(z)\exp(a - z) = 0$ .

Pour $z$ fixé, $t \mapsto g(tz)$ , sur $[0, 1]$ , a une dérivée nulle (Fonctions holomorphes), donc est constante (Convergence uniforme, (iv)) : $g(z) = g(0) = \exp a$ . Avec $a = z + w$ , on obtient l'égalité, et $\exp(z)\exp(-z) = \exp 0 = 1$ .

(iii) La conjugaison passe aux sommes partielles, puis à la limite.

Pour $t$ réel, posons $F(t) = \exp(it)$ , $C(t) = \operatorname{Re} F(t)$ et $S(t) = \operatorname{Im} F(t)$ . Par (i) et la dérivée d'une composée (Fonctions holomorphes, (iii)), appliquée au chemin $t \mapsto it$ , la fonction $F$ est dérivable, de dérivée $F'(t) = i\exp(it)$ : le taux d'accroissement $\frac{F(t + h) - F(t)}{h}$ , pour $h$ réel non nul, tend vers $iF(t)$ quand $h$ tend vers $0$ .

Comme $|\operatorname{Re} w| \leqslant |w|$ et $|\operatorname{Im} w| \leqslant |w|$ , les parties réelle et imaginaire de ce taux, qui sont les taux d'accroissement de $C$ et de $S$ , tendent vers celles de $iF(t) = iC(t) - S(t)$ . Ainsi $C$ et $S$ sont dérivables (Dérivabilité en un point), et $C' = -S, \qquad S' = C.$ De plus $F(0) = \exp 0 = 1$ , donc $C(0) = 1$ et $S(0) = 0$ . La caractérisation du nœud Formules d'addition, (vi), donne $C = \cos$ et $S = \sin$ : c'est l'égalité $\exp(it) = \cos t + i\sin t$ .

Enfin, par la conjugaison et (ii), $|\exp(it)|^2 = \exp(it)\,\overline{\exp(it)} = \exp(it)\exp(-it) = 1$ .

(iv) Pour $x$ réel, les sommes partielles $\sum_{k \leqslant n} x^k/k!$ sont réelles, et elles convergent vers l'exponentielle réelle de $x$ (Série de l'exponentielle, (i)) ; la limite d'une suite de $\mathbb C$ étant unique, les deux exponentielles coïncident sur $\mathbb R$ . Elle y est donc strictement positive et strictement croissante (Exponentielle, (i)). Les dérivées de $\cos$ et de $\sin$ sont celles du nœud Cosinus et sinus sur ℝ, (iii), que la preuve de (iii) retrouve.

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Remarque

L'égalité (iii) est la formule d'Euler. Beaucoup d'exposés la prennent pour définition du cosinus et du sinus, en posant $\cos t = \operatorname{Re}\exp(it)$ et $\sin t = \operatorname{Im}\exp(it)$ ; la caractérisation du nœud Formules d'addition, (vi), montre que cette voie et celle de l'analyse réelle, par l'arc tangente, mènent aux mêmes fonctions. Ce qui compte n'est pas la construction, mais les deux relations $C' = -S$ et $S' = C$ avec les conditions initiales, qui déterminent les fonctions.

Remarque

Les formules d'addition du cosinus et du sinus (Formules d'addition, (iii)) sont maintenant les parties réelle et imaginaire de $\exp(i(s + t)) = \exp(is)\exp(it)$ . L'analyse réelle les obtenait par l'unicité des solutions de $y'' + y = 0$ ; ici, une seule identité sur $\mathbb C$ les contient toutes les deux.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de transporter à $\mathbb C$ les propriétés de l'exponentielle réelle. Sur $\mathbb R$ , elle est injective et à valeurs strictement positives ; sur $\mathbb C$ , elle n'est pas injective, puisque $\exp(2i\pi) = \exp 0$ , et elle prend toutes les valeurs non nulles : tout $w \neq 0$ s'écrit $|w|\exp(i\theta)$ (Le nombre π, (iii)), et $|w| = \exp(\ln|w|)$ par la surjectivité de l'exponentielle réelle sur $]0, +\infty[$ (Exponentielle), d'où $w = \exp(\ln|w| + i\theta)$ . Seul le module garde une trace de la partie réelle : $|\exp(x + iy)| = \exp x$ , par (ii) à (iv).

Repose sur

Une série entière est holomorphe

Sert à

Le nombre π et la périodicité de l'exponentielle