L'exponentielle comme limite de polynômes

(i) Le cas $x = 0$ est immédiat. Si $x \neq 0$, la fonction $\exp$ est $n + 1$ fois dérivable, et toutes ses dérivées successives valent $\exp$ (Exponentielle, (ii)). Comme $\exp 0 = 1$, son polynôme de Taylor en $0$ à l'ordre $n$ est $S_n$. La formule de Taylor-Lagrange (Taylor-Lagrange), entre $0$ et $x$, fournit $c$ strictement compris entre $0$ et $x$ tel que $$\exp x - S_n(x) = \exp c\,\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},$$ et $\exp c \leqslant \exp|x|$ par croissance, puisque $c < |x|$.

Pour voir que le majorant tend vers $0$, on applique Croissances comparées, (ii), à $y = 2|x|$ et au rang $n + 1$ : $$\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(2|x|)^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!} \leqslant \frac{\exp(2|x|)}{2^{n+1}}.$$ Or $2^{n+1} \geqslant n + 2$, par récurrence sur $n$ : c'est $2 \geqslant 2$ pour $n = 0$, et si l'inégalité vaut au rang $n$, alors $2^{n+2} = 2 \cdot 2^{n+1} \geqslant 2n + 4 \geqslant n + 3$. Le majorant de (i) est donc au plus $\exp(3|x|)/(n + 2)$.

Soit $\eta > 0$. La propriété d'Archimède (Archimède) fournit $N$ tel que $N\eta > \exp(3|x|)$ ; pour $n \geqslant N$, le majorant est inférieur à $\eta$, et $|\exp x - S_n(x)| < \eta$.

(ii) Pour $x = 0$, la suite est constante égale à $1 = \exp 0$. Soit $x \neq 0$, et $n > |x|$, de sorte que $1 + x/n > 0$. Par Puissances réelles, (ii), la puissance entière $(1 + x/n)^n$ vaut $\exp\big(n \ln(1 + x/n)\big)$.

Le taux d'accroissement de $\ln$ en $1$, $g(h) = \frac{\ln(1 + h) - \ln 1}{h}$, défini pour $h > -1$ et $h \neq 0$, tend vers $\ln'(1) = 1$ quand $h \to 0$ (Dérivabilité en un point). Soit $\eta > 0$, et $\delta > 0$ tel que $|g(h) - 1| < \eta/|x|$ pour $0 < |h| < \delta$ et $h > -1$. Par la propriété d'Archimède, il existe $N > |x|$ tel que $|x|/N < \delta$ ; pour $n \geqslant N$, $h = x/n$ vérifie $0 < |h| < \delta$, et $$\begin{aligned} &\Big|n\ln\Big(1 + \frac xn\Big) - x\Big| \\ &\quad = |x|\,\Big|g\Big(\frac xn\Big) - 1\Big| < \eta. \end{aligned}$$ La suite $y_n = n\ln(1 + x/n)$, définie pour $n > |x|$, converge donc vers $x$.

Enfin $\exp$ est continue en $x$ (Exponentielle, (i)) : pour $\eta > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|y - x| < \delta$ entraîne $|\exp y - \exp x| < \eta$, et $|y_n - x| < \delta$ à partir d'un certain rang. Ainsi $(1 + x/n)^n = \exp y_n \to \exp x$.