L'exponentielle, réciproque du logarithme

(i) Le logarithme est continu et strictement croissant sur l'intervalle $]0, +\infty[$. Par le théorème de la bijection (Bijection continue), sa réciproque est continue et strictement croissante sur l'intervalle image $\mathbb R$. Ses valeurs sont dans $]0, +\infty[$ par construction, et $\exp 0 = 1$ puisque $\ln 1 = 0$.

(ii) Soit $b$ réel et $a = \exp b$. Le logarithme est dérivable en $a$, de nombre dérivé $1/a \neq 0$. Le nœud Dérivée d'une réciproque, (i), montre que $\exp$ est dérivable en $b$, et $$\exp'(b) = \frac{1}{\ln'(\exp b)} = \exp b.$$ Ainsi $\exp' = \exp$ est elle-même dérivable, et par récurrence $\exp^{(k)} = \exp$ pour tout $k$.

(iii) Par Logarithme, (ii), $$\begin{aligned} \ln(\exp a \exp b) &= \ln \exp a + \ln \exp b \\ &= a + b, \end{aligned}$$ et l'on applique $\exp$ aux deux membres. Avec $b = -a$, on obtient $\exp a \exp(-a) = \exp 0 = 1$. Enfin $\exp(0 \cdot a) = 1 = (\exp a)^0$, et $\exp((n + 1)a) = \exp(na)\exp a$ donne la dernière égalité par récurrence.

(iv) Soit $A$ un réel ; si $A \leqslant 0$, tout $y$ convient, puisque $\exp y > 0$. Si $A > 0$, pour $y > \ln A$, la stricte croissance donne $\exp y > \exp(\ln A) = A$. Soit $\varepsilon > 0$. Pour $y < \ln \varepsilon$, on a de même $0 < \exp y < \varepsilon$.

(v) La fonction $g(x) = f(x)\exp(-x)$ est dérivable sur $I$, par la dérivée d'une composée (Dérivée d'une composée), la dérivée de $x \mapsto \exp(-x)$ étant $-\exp(-x)$, et par celle d'un produit (Opérations, (ii)) : $$g'(x) = \big(f'(x) - f(x)\big)\exp(-x) = 0.$$ Sur l'intervalle $I$, $g$ est donc constante (Signe de la dérivée, (ii)), égale à $g(0) = f(0)$. Par (iii), $f(x) = g(x)\exp x = f(0)\exp x$.