Proposition 1Dérivabilité

Limite d'une fonction en un point

Soit $D \subset {\mathbb R}$ et $a \in \mathbb R$ un point adhérent à $D$ : pour tout $\delta > 0$ , il existe $x \in D$ tel que $|x - a| < \delta$ . Une fonction $g : D \to \mathbb R$ admet la limite $\ell \in \mathbb R$ en $a$ si $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in D, \\ &\qquad |x - a| < \delta \ \Longrightarrow\ |g(x) - \ell| < \varepsilon. \end{aligned}$ On écrit alors $g(x) \to \ell$ quand $x \to a$ , $x \in D$ .

Le point $a$ peut appartenir à $D$ ou non ; pour la dérivée, on prendra $D = I \setminus \{a\}$ , où le quotient qui nous intéresse n'est pas défini en $a$ .

Pour une fonction $g$ définie sur une demi-droite $[A_0, +\infty[$ de $\mathbb R$ , on dit que $g(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $B \geqslant A_0$ tel que $|g(x) - \ell| < \varepsilon$ pour tout $x \geqslant B$ , et que $g(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si, pour tout réel $A$ , il existe $B \geqslant A_0$ tel que $g(x) > A$ pour tout $x \geqslant B$ . La limite $\ell$ est unique : deux limites $\ell$ et $\ell'$ vérifieraient $|\ell - \ell'| < 2\varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ , en prenant $x$ au-delà des deux seuils.

On définit de même la limite quand $x$ tend vers $-\infty$ , pour $g$ définie sur une demi-droite $]{-\infty}, A_0]$ , en remplaçant $x \geqslant B$ par $x \leqslant B$ ; la limite $-\infty$ , en remplaçant $g(x) > A$ par $g(x) < A$ ; et, pour $g$ définie sur $D$ et $a$ adhérent à $D$ , la limite $\pm\infty$ quand $x$ tend vers $a$ , en remplaçant « $x \geqslant B$ » par « $x \in D$ et $|x - a| < \delta$ », avec $\delta > 0$ . On écrit $g(x) \to \ell$ , ou $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \ell$ , et de même dans les autres cas.

Énoncé

Soit $g, k : D \to \mathbb R$ et $a$ adhérent à $D$ .

(i) Unicité. Si $g$ admet une limite en $a$ , celle-ci est unique ; on la note $\lim_{x \to a} g(x)$ .

(ii) Continuité. Si $a \in D$ , la fonction $g$ admet une limite en $a$ si et seulement si elle est continue en a, et cette limite est alors $g(a)$ . Si $a \notin D$ , la fonction $g$ admet la limite $\ell$ en $a$ si et seulement si son prolongement $\tilde g$ à $D \cup \{a\}$ , défini par $\tilde g(a) = \ell$ , est continu en $a$ .

(iii) Caractère local. Soit $D' \subset D$ tel que $a$ soit adhérent à $D'$ . Si $g(x) \to \ell$ quand $x \to a$ dans $D$ , il en est de même dans $D'$ . Réciproquement, pour tout $r > 0$ , la limite de $g$ en $a$ dans $D$ existe et vaut $\ell$ dès qu'elle existe et vaut $\ell$ dans $D \cap \,]a - r, a + r[$ .

(iv) Opérations. Si $g \to \ell$ et $k \to m$ en $a$ , alors $g + k \to \ell + m$ et $gk \to \ell m$ . Si de plus $k$ ne s'annule pas sur $D$ et $m \neq 0$ , alors $1/k \to 1/m$ .

(v) Composition. Si $g \to \ell$ en $a$ , si $g(D) \subset E$ avec $\ell \in E$ , et si $h : E \to \mathbb R$ est continue en $\ell$ , alors $h \circ g \to h(\ell)$ en $a$ .

(vi) Passage à la limite dans les inégalités. Si $g \to \ell$ , $k \to m$ en $a$ et $g(x) \leqslant k(x)$ pour tout $x \in D$ , alors $\ell \leqslant m$ .

Démonstration

(i) Supposons que $\ell$ et $\ell'$ conviennent, avec $\ell \neq \ell'$ , et prenons $\varepsilon = |\ell - \ell'|/2$ . Il existe $\delta, \delta' > 0$ associés à $\varepsilon$ pour $\ell$ et pour $\ell'$ ; comme $a$ est adhérent à $D$ , il existe $x \in D$ tel que $|x - a| < \min(\delta, \delta')$ , et alors $\begin{aligned} |\ell - \ell'| &\leqslant |\ell - g(x)| + |g(x) - \ell'| \\ &< 2\varepsilon = |\ell - \ell'|, \end{aligned}$ ce qui est absurde.

(ii) Si $a \in D$ et $g \to \ell$ , l'inégalité $|g(a) - \ell| < \varepsilon$ , obtenue avec $x = a$ pour tout $\varepsilon > 0$ , force $\ell = g(a)$ , et la définition de la limite devient celle de la continuité en $a$ . Si $a \notin D$ , la condition de continuité de $\tilde g$ en $a$ ne diffère de celle de la limite que par le point $x = a$ , pour lequel $|\tilde g(a) - \ell| = 0 < \varepsilon$ est automatique.

(iii) Le premier point est immédiat, puisque la condition porte sur moins de points. Pour le second, si $\delta$ convient pour $\varepsilon$ dans $D \cap \,]a - r, a + r[$ , alors $\min(\delta, r)$ convient dans $D$ .

(iv) Soit $\varepsilon > 0$ . Pour la somme, on prend $\delta$ tel que $|g(x) - \ell| < \varepsilon/2$ et $|k(x) - m| < \varepsilon/2$ pour $|x - a| < \delta$ . Pour le produit, on écrit $\begin{aligned} g(x)k(x) - \ell m &= g(x)\big(k(x) - m\big) \\ &\quad + m\big(g(x) - \ell\big). \end{aligned}$ Pour $|x - a|$ assez petit, $|g(x) - \ell| < 1$ , donc $|g(x)| \leqslant |\ell| + 1$ ; si de plus $|k(x) - m| < \varepsilon / (2|\ell| + 2)$ et $|g(x) - \ell| < \varepsilon/(2|m| + 2)$ , le produit est à moins de $\varepsilon$ de $\ell m$ .

Pour l'inverse, on a $|k(x)| \geqslant |m|/2$ dès que $|k(x) - m| < |m|/2$ , et alors $\begin{aligned} \left| \frac1{k(x)} - \frac1m \right| &= \frac{|k(x) - m|}{|k(x)|\,|m|} \\ &\leqslant \frac{2\,|k(x) - m|}{m^2}, \end{aligned}$ qui est inférieur à $\varepsilon$ dès que $|k(x) - m| < \varepsilon m^2/2$ .

(vi) Par (iv), $k - g \to m - \ell$ . Si l'on avait $\ell - m > 0$ , en prenant $\varepsilon = \ell - m$ , on trouverait, $a$ étant adhérent à $D$ , un $x \in D$ tel que $k(x) - g(x) < (m - \ell) + \varepsilon = 0$ , contrairement à l'hypothèse.

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Remarque

Avec (ii) et (iv), sommes et produits de fonctions continues en un point sont continus en ce point ; avec (v), il en va de même des composées. Comme $x \mapsto x$ et les constantes sont continues, toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb R$ , et toute fonction rationnelle l'est là où son dénominateur ne s'annule pas.

Remarque

Toutes ces démonstrations sont menées avec des $\varepsilon$ et des $\delta$ , sans suites. Ce n'est pas un détail : la caractérisation séquentielle de la limite exige, dans le sens réciproque, le choix dénombrable, comme celle de la continuité au nœud Caractérisation séquentielle. Aucun résultat de ce chapitre n'en a besoin.

Remarque

L'erreur la plus répandue, dans (vi), est de croire que des inégalités strictes passent à la limite. Sur $D = \,]0, 1]$ , on a $0 < x$ pour tout $x$ , mais la limite en $0$ des deux membres donne seulement $0 \leqslant 0$ .

Repose sur

Continuité

Sert à

Dérivabilité en un point