Définition 1Continuité

Continuité en un point

Énoncé

Soit $I \subset {\mathbb R}$ , $f : I \to \mathbb R$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \\ &\quad |x - a| < \delta \ \Longrightarrow \\ &\qquad |f(x) - f(a)| < \varepsilon. \end{aligned}$ Elle est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Pour

f(x) = x^2

a = 1

\varepsilon = 0{,}5

, le choix

\delta = 0{,}2

convient : la partie du graphe située au-dessus de la bande verticale

]a - \delta, a + \delta[

reste dans la bande horizontale

]f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon[

, donc dans le rectangle rouge. Tout

\delta

plus petit convient aussi ; le plus grand possible est ici la solution positive de

(1 + \delta)^2 = 1{,}5

, environ

0{,}22

Remarque

C'est la définition métrique appliquée à la distance $|x - y|$ . La continuité sur $I$ équivaut à la définition topologique de la continuité pour les topologies induites, ce que démontre le nœud Bijection continue, où l'on en a besoin.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'inverser les quantificateurs : $\delta$ dépend de $\varepsilon$ et de $a$ . Le choisir avant $\varepsilon$ rendrait $f$ constante près de $a$ ; le choisir indépendamment de $a$ donne une notion plus forte, la continuité uniforme (Continuité uniforme).

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Caractérisation séquentielle Théorème des valeurs intermédiaires Continuité des fonctions monotones Théorème des bornes atteintes Continuité uniforme