Définition 2Continuité

Continuité uniforme

Énoncé

La fonction $f : I \to {\mathbb R}$ est uniformément continue sur $I$ si $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \\ &\quad |x - y| < \delta \ \Longrightarrow \\ &\qquad |f(x) - f(y)| < \varepsilon. \end{aligned}$ Une fonction uniformément continue sur $I$ est continue en tout point $a$ de $I$ , au sens du nœud Continuité en un point : il suffit de prendre $y = a$ dans la définition.

Remarque

Le même $\delta$ convient en tout point. La réciproque est fausse : une fonction continue en tout point n'est pas toujours uniformément continue. La fonction $x \mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $\mathbb R$ , puisque $(x + \frac1x)^2 - x^2 = 2 + \frac1{x^2} > 2$ alors que $\frac1x$ tend vers $0$ .

Pour

x = 1{,}2

2{,}2

3{,}2

, les points

x

x + \frac1x

sont de plus en plus proches (écarts en bleu sur l'axe des abscisses), mais leurs images restent écartées de

2 + \frac1{x^2} > 2

(en rouge sur l'axe des ordonnées). Aucun

\delta

ne convient donc pour

\varepsilon = 2

en tous les points à la fois.

Repose sur

Continuité en un point

Sert à

Théorème de Heine