Théorème de Heine

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et $\varepsilon > 0$. Soit $A$ l'ensemble des $x \in [a, b]$ pour lesquels il existe $\delta > 0$ tel que $$\begin{aligned} &\forall s, t \in [a, x], \\ &\quad |s - t| < \delta \Longrightarrow |f(s) - f(t)| < \varepsilon. \end{aligned}$$ Il contient $a$ et il est majoré par $b$ ; pour l'intuition, c'est un intervalle d'origine $a$, mais la démonstration n'en a pas besoin. Soit $c = \sup A \in [a, b]$, qui existe par la propriété de la borne supérieure (Borne supérieure).

Par continuité en $c$, il existe $\eta > 0$ tel que $|f(s) - f(c)| < \frac\varepsilon2$ pour $s \in [a, b]$ et $|s - c| < \eta$. Comme $c - \frac\eta2$ ne majore pas $A$, il existe $x \in A$ tel que $x > c - \frac\eta2$ ; soit $\delta_x$ le nombre associé. Posons $y = \min\big(b, c + \frac\eta2\big)$ et $\delta = \min\big(\delta_x, \frac\eta2\big)$.

Soit $s, t$ dans $[a, y]$ avec $|s - t| < \delta$ ; par symétrie, et le cas $s = t$ étant trivial, on peut supposer $s < t$. Si $t \leqslant x$, alors $|f(s) - f(t)| < \varepsilon$ par la propriété de $\delta_x$. Sinon, $$c - \eta < t - \frac\eta2 < s < t \leqslant c + \frac\eta2,$$ puisque $t > x > c - \frac\eta2$ : les deux points sont à distance de $c$ inférieure à $\eta$, et $$\begin{aligned} &|f(s) - f(t)| \\ &\quad \leqslant |f(s) - f(c)| + |f(c) - f(t)| \\ &\quad < \varepsilon. \end{aligned}$$

Ainsi $y \in A$, donc $y \leqslant c$, ce qui exclut $y = c + \frac\eta2$ : $y = b$. Le nombre $\delta$ associé à $b$ convient sur tout $[a, b]$, et, $\varepsilon$ étant quelconque, $f$ est uniformément continue.