Proposition 1Continuité

Caractérisation séquentielle ⋆

⋆ Axiome du choix

Le sens réciproque construit une suite en choisissant un terme $x_n$ dans chacun des ensembles $A_n$ : il utilise le choix dénombrable. Sans lui, l'équivalence peut tomber en défaut : dans $\mathsf{ZF}$ , elle équivaut, pour les fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ , au choix dénombrable pour les parties de $\mathbb R$ (H. Herrlich et G. E. Strecker, « When is ℕ Lindelöf? », Comment. Math. Univ. Carolinae 38 (1997), p. 553-556).

Énoncé

La fonction $f : I \to {\mathbb R}$ est continue en $a \in I$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $I$ qui converge vers $a$ , la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$ .

Démonstration

Supposons $f$ continue en $a$ et $x_n \to a$ . Soit $\varepsilon > 0$ et $\delta$ associé. Il existe $N$ tel que $|x_n - a| < \delta$ pour $n \geqslant N$ , et alors $|f(x_n) - f(a)| < \varepsilon$ .

Réciproquement, supposons $f$ non continue en $a$ : il existe $\varepsilon > 0$ tel que, pour tout $n \geqslant 1$ , l'ensemble $\begin{aligned} A_n = \Big\{ x \in I :{} &|x - a| < \tfrac1n \\ &\text{et } |f(x) - f(a)| \geqslant \varepsilon \Big\} \end{aligned}$ soit non vide. Choisissons $x_n \in A_n$ pour chaque $n$ . Alors $x_n \to a$ , mais $|f(x_n) - f(a)| \geqslant \varepsilon$ pour tout $n$ , donc $(f(x_n))$ ne tend pas vers $f(a)$ .

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Repose sur

Continuité en un point Suites réelles et limites

Sert à

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