Théorème 2Analyse réelle

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Énoncé

Toute suite réelle bornée admet une suite extraite convergente.

Démonstration

Lemme des pics. Toute suite réelle $(u_n)$ admet une suite extraite monotone. Disons que $n$ est un pic si $u_n \geqslant u_m$ pour tout $m > n$ .

Si les pics sont en nombre infini, on les range par ordre croissant $n_0 < n_1 < \cdots$ , ce qui ne demande aucun choix puisque ${\mathbb N}$ est bien ordonné ; la suite $(u_{n_k})$ est alors décroissante.

S'ils sont en nombre fini, soit $n_0$ le plus petit entier strictement supérieur à tous les pics. Aucun $n \geqslant n_0$ n'est un pic, donc il existe $m > n$ avec $u_m > u_n$ ; on définit par récurrence $n_{k+1}$ comme le plus petit tel entier pour $n = n_k$ . La suite $(u_{n_k})$ est strictement croissante.

En haut,

u_n = (-1)^n\frac{n}{n+1} + \frac{2}{n+1}

a une infinité de pics, les indices pairs, cerclés : chacun majore tous les termes qui le suivent, et ils forment une suite extraite décroissante. En bas,

u_n = (-1)^n\frac{n-3}{n+1}

n'a qu'un pic,

n = 1

; à partir de

n_0 = 2

, on prend chaque fois le plus petit indice dont le terme dépasse le terme courant, ce qui donne

n_k = 2, 3, 4, 6, 8, \dots

et une suite extraite strictement croissante.

Si $(u_n)$ est bornée, la suite extraite monotone obtenue l'est aussi ; elle converge par le théorème de la limite monotone (Limite monotone), appliqué à elle ou à son opposée.

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Remarque

Cette démonstration n'utilise aucune forme de l'axiome du choix : chaque choix est remplacé par la désignation d'un plus petit élément de $\mathbb N$ .

Repose sur

Suites réelles et limites

Sert à

Complétude de ℝ Topologie de ℝ