Complétude de ℝ

Soit $(u_n)$ de Cauchy. Pour $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que $|u_n - u_N| < 1$ pour $n \geqslant N$ ; la suite est donc bornée par $\max(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |u_N| + 1)$. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass (Bolzano-Weierstrass), une suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers un réel $\ell$.

Soit $\varepsilon > 0$, et $N'$ tel que $|u_p - u_q| < \varepsilon/2$ pour $p, q \geqslant N'$. Il existe $k \geqslant N'$ tel que $|u_{\varphi(k)} - \ell| < \varepsilon/2$, et $\varphi(k) \geqslant k \geqslant N'$. Pour $n \geqslant N'$, on obtient $$|u_n - \ell| \leqslant |u_n - u_{\varphi(k)}| + |u_{\varphi(k)} - \ell| < \varepsilon.$$