Théorème 2Suites réelles et limites

Théorème de la limite monotone

Énoncé

La suite réelle $(u_n)$ est croissante si $u_n \leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$ , ce qui entraîne $u_n \leqslant u_m$ pour $n \leqslant m$ par récurrence sur $m$ ; elle est décroissante si $(-u_n)$ est croissante, et monotone si elle est croissante ou décroissante.

Théorème de la limite monotone. Toute suite réelle croissante et majorée converge, vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes.

Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ . Symétriquement, toute suite décroissante minorée converge vers la borne inférieure de l'ensemble de ses termes, et toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$ .

Démonstration

Soit $(u_n)$ croissante et majorée, et $s = \sup\{u_n : n \in {\mathbb N}\}$ , qui existe par la propriété de la borne supérieure. Soit $\varepsilon > 0$ . Le réel $s - \varepsilon$ ne majore pas l'ensemble des termes : il existe $N$ tel que $u_N > s - \varepsilon$ . Pour tout $n \geqslant N$ , la croissance donne $s - \varepsilon < u_N \leqslant u_n \leqslant s$ , donc $|u_n - s| < \varepsilon$ .

Pour

u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac1{k^2}

, majorée par

2

, la borne supérieure

s

des termes est le plus petit des majorants, en dessous de

2

. Avec

\varepsilon = 0{,}15

, le premier terme qui dépasse

s - \varepsilon

est

u_7

, qui joue le rôle de

u_N

; la croissance enferme alors tous les termes suivants dans la bande

]s - \varepsilon, s]

Si $(u_n)$ est croissante et non majorée, aucun réel $A$ ne la majore : il existe $N$ tel que $u_N > A$ , et alors $u_n \geqslant u_N > A$ pour tout $n \geqslant N$ .

Si $(u_n)$ est décroissante et minorée par $m$ , la suite $(-u_n)$ est croissante et majorée par $-m$ ; elle converge vers $s = \sup\{-u_n\}$ .

Le réel $-s$ est la borne inférieure des $u_n$ : il les minore puisque $-u_n \leqslant s$ , et si $m'$ les minore, $-m'$ majore les $-u_n$ , donc $-m' \geqslant s$ et $m' \leqslant -s$ . Comme $|u_n - (-s)| = |-u_n - s|$ , on a $u_n \to -s$ . Le cas d'une suite décroissante non minorée se ramène de même au cas croissant non majoré.

□

Remarque

La suite $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac1{k^2}$ est croissante, et majorée par $2$ : pour $k \geqslant 2$ , on a $\frac1{k^2} \leqslant \frac1{k(k-1)} = \frac1{k-1} - \frac1k,$ et la somme télescopique donne $u_n \leqslant 1 + 1 - \frac1n < 2$ .

Elle converge donc, alors qu'on ne sait pas encore exprimer sa limite. Le théorème donne l'existence d'une limite sans la calculer, et c'est précisément ce qui le rend indispensable.

Remarque

Le théorème est faux dans ${\mathbb Q}$ . La suite des approximations décimales par défaut de la racine carrée de $2$ , soit $1$ ; $1{,}4$ ; $1{,}41$ ; $1{,}414$ ; …, est croissante et majorée par $2$ dans $\mathbb Q$ , mais n'a pas de limite rationnelle, puisque sa limite réelle $\ell$ , la seule possible par unicité, vérifie $\ell^2 = 2$ (Suites adjacentes), et qu'aucun rationnel n'a pour carré $2$ (Irrationalité de √2).

Toute la force du théorème vient de la propriété de la borne supérieure (Borne supérieure), qui fournit le candidat $s$ .

Remarque

Réciproquement, un corps totalement ordonné où toute suite croissante et majorée converge a la propriété de la borne supérieure. Il est d'abord archimédien, sans quoi la suite $(n)$ , croissante et majorée, ne pourrait converger ; une dichotomie, comme celle des segments emboîtés (Segments emboîtés), produit ensuite la borne supérieure d'une partie non vide et majorée. Le théorème de la limite monotone est ainsi une autre forme de l'axiome de complétude.

Repose sur

Limites infinies et comparaison

Sert à

Théorème des suites adjacentes