Théorème des suites adjacentes

Les suites $u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac1{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac1n$, pour $n \geqslant 1$, sont adjacentes : $(u_n)$ est croissante, $v_n - u_n = \frac1n \to 0$, et $$\begin{aligned} v_{n+1} - v_n &= \frac1{(n+1)^2} + \frac1{n+1} - \frac1n \\ &= -\frac{1}{n(n+1)^2} < 0. \end{aligned}$$ Leur limite commune est donc encadrée par deux rationnels calculables, à $\frac1n$ près : pour $n = 10$, elle est comprise entre $1{,}5497$ et $1{,}6498$. On montrera en analyse de Fourier (Parseval) qu'elle vaut $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$.

Les suites adjacentes construisent des réels. Notons $u_n$ le plus grand nombre décimal à $n$ chiffres après la virgule dont le carré est inférieur ou égal à $2$, c'est-à-dire $u_n = k_n / 10^n$, où $k_n$ est le plus grand entier tel que $k_n^2 \leqslant 2 \cdot 10^{2n}$, et posons $v_n = u_n + 10^{-n}$.

On obtient $u_0 = 1$, $u_1 = 1{,}4$, $u_2 = 1{,}41$, $u_3 = 1{,}414$, et $v_3 = 1{,}415$.

La suite $(u_n)$ croît, car $u_n$ est encore un candidat au rang $n + 1$ ; on a $v_n^2 > 2$ par maximalité, donc tout décimal à $n + 1$ chiffres de carré $\leqslant 2$ est $< v_n$, d'où $u_{n+1} \leqslant v_n - 10^{-n-1}$ et $v_{n+1} \leqslant v_n$.

Les deux suites sont donc adjacentes ; de $u_n^2 \leqslant 2 < v_n^2$, on tire, par produit et passage à la limite, $\ell^2 \leqslant 2 \leqslant \ell^2$. Le réel $\ell$ est la racine carrée de $2$, obtenue sans aucun choix : chaque $k_n$ est le plus grand élément d'un ensemble fini d'entiers.

L'erreur la plus répandue est d'oublier la condition $v_n - u_n \to 0$. Sans elle, une suite croissante majorée par une suite décroissante converge encore, de même que la suite décroissante, mais les deux limites peuvent différer, comme pour $u_n = -\frac1{n+1}$ et $v_n = 1 + \frac1{n+1}$.

Les sommes partielles $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}$ donnent deux suites adjacentes $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$ : $$\begin{aligned} S_{2n+2} - S_{2n} &= \frac1{2n+1} - \frac1{2n+2} > 0, \\ S_{2n+3} - S_{2n+1} &= \frac1{2n+3} - \frac1{2n+2} < 0, \end{aligned}$$ et $S_{2n+1} - S_{2n} = \frac1{2n+1} \to 0$.

Par le critère des suites extraites paires et impaires (Suites extraites), $(S_n)$ converge ; numériquement, $S_{100} \approx 0{,}6882$ et $S_{101} \approx 0{,}6981$ encadrent sa limite.