Opérations sur les limites

(i) Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N_1$ et $N_2$ tels que $|u_n - \ell| < \varepsilon/2$ pour $n \geqslant N_1$ et $|v_n - \ell'| < \varepsilon/2$ pour $n \geqslant N_2$. Pour $n \geqslant \max(N_1, N_2)$, on a $$\begin{aligned} &|(u_n + v_n) - (\ell + \ell')| \\ &\quad \leqslant |u_n - \ell| + |v_n - \ell'| < \varepsilon. \end{aligned}$$

(ii) On écrit $$u_n v_n - \ell\ell' = u_n (v_n - \ell') + \ell' (u_n - \ell).$$

La suite $(u_n)$ converge, donc elle est bornée (Unicité, bornitude, (ii)) : il existe $M > 0$ tel que $|u_n| \leqslant M$ pour tout $n$.

Soit $\varepsilon > 0$. Il existe $N_1$ tel que $|v_n - \ell'| < \frac{\varepsilon}{2M}$ pour $n \geqslant N_1$, et $N_2$ tel que $|u_n - \ell| < \frac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)}$ pour $n \geqslant N_2$. Pour $n \geqslant \max(N_1, N_2)$, $$\begin{aligned} |u_n v_n - \ell\ell'| &\leqslant M\,\frac{\varepsilon}{2M} + |\ell'|\,\frac{\varepsilon}{2(|\ell'| + 1)} \\ &< \frac\varepsilon2 + \frac\varepsilon2 = \varepsilon. \end{aligned}$$

Le cas $\lambda u_n$ s'obtient en prenant pour $(v_n)$ la suite constante égale à $\lambda$, qui converge vers $\lambda$ puisque $|v_n - \lambda| = 0$.

(iii) L'inégalité triangulaire donne $\big||u_n| - |\ell|\big| \leqslant |u_n - \ell|$, et il suffit de prendre le même rang que pour $(u_n)$.

(iv) Appliquons la définition avec $\varepsilon = |\ell|/2 > 0$ : il existe $N_0$ tel que $|u_n - \ell| < |\ell|/2$ pour $n \geqslant N_0$, d'où $$|u_n| \geqslant |\ell| - |u_n - \ell| > \frac{|\ell|}{2} > 0.$$ Pour $n \geqslant N_0$, on a donc $$\begin{aligned} \left|\frac1{u_n} - \frac1\ell\right| &= \frac{|\ell - u_n|}{|u_n|\,|\ell|} \\ &\leqslant \frac{2}{|\ell|^2}\,|u_n - \ell|. \end{aligned}$$ Soit $\varepsilon > 0$ et $N_1$ tel que $|u_n - \ell| < \frac{|\ell|^2 \varepsilon}{2}$ pour $n \geqslant N_1$ : pour $n \geqslant \max(N_0, N_1)$, l'écart est $< \varepsilon$. Enfin $\frac{v_n}{u_n} = v_n \cdot \frac1{u_n}$, et l'on applique (ii).