Unicité de la limite ; une suite convergente est bornée

Les deux définitions de « bornée » coïncident. Si $m \leqslant u_n \leqslant M'$ pour tout $n$, alors $u_n \leqslant |M'|$ et $-u_n \leqslant |m|$, donc $|u_n| = \max(u_n, -u_n) \leqslant \max(|m|, |M'|)$ ; réciproquement, $|u_n| \leqslant M$ donne $-M \leqslant u_n \leqslant M$.

(i) Supposons $\ell \neq \ell'$ et posons $\varepsilon = \frac12|\ell - \ell'| > 0$. Il existe $N_1$ tel que $|u_n - \ell| < \varepsilon$ pour $n \geqslant N_1$, et $N_2$ tel que $|u_n - \ell'| < \varepsilon$ pour $n \geqslant N_2$. Pour $n = \max(N_1, N_2)$, l'inégalité triangulaire donne $$\begin{aligned} |\ell - \ell'| &\leqslant |\ell - u_n| + |u_n - \ell'| \\ &< 2\varepsilon = |\ell - \ell'|, \end{aligned}$$ ce qui est absurde.

(ii) Soit $u_n \to \ell$. Pour $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que $|u_n - \ell| < 1$ pour $n \geqslant N$, et alors $|u_n| \leqslant |\ell| + |u_n - \ell| < |\ell| + 1$. Le réel $M = \max(|u_0|, \dots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1)$, maximum d'un ensemble fini, majore alors $|u_n|$ pour tout $n$.