Limites infinies et comparaison

Une suite qui tend vers $+\infty$ n'est pas majorée : sinon, pour $A$ un majorant, on aurait $u_N > A \geqslant u_N$. Elle n'est donc pas bornée, et une suite convergente est bornée (Unicité, bornitude, (ii)) ; le cas de $-\infty$ s'en déduit par passage à l'opposé.

(i) Soit $N_0$ tel que $u_n \leqslant v_n$ pour $n \geqslant N_0$, et $A \in \mathbb R$. Il existe $N$ tel que $u_n > A$ pour $n \geqslant N$, et alors $v_n \geqslant u_n > A$ pour $n \geqslant \max(N, N_0)$. Le second énoncé s'obtient en appliquant le premier à $-v_n \leqslant -u_n$.

(ii) Soit $m$ un minorant de $(v_n)$ et $A \in \mathbb R$. Il existe $N$ tel que $u_n > A - m$ pour $n \geqslant N$, et alors $u_n + v_n > A$. Une suite convergente est bornée, donc minorée.

Pour le produit, appliquons la définition de $v_n \to \ell'$ avec $\varepsilon = \ell'/2$ : il existe $N_1$ tel que $v_n > \ell'/2 > 0$ pour $n \geqslant N_1$. Soit $A \in \mathbb R$ et $A' = \max(A, 1) > 0$ ; il existe $N_2$ tel que $u_n > 2A'/\ell'$ pour $n \geqslant N_2$, et pour $n \geqslant \max(N_1, N_2)$, on obtient $$u_n v_n > \frac{2A'}{\ell'} \cdot \frac{\ell'}{2} = A' \geqslant A.$$

(iii) Avec $A = 0$, on obtient $u_n > 0$ à partir d'un certain rang. Soit $\varepsilon > 0$ : il existe $N$ tel que $u_n > 1/\varepsilon$ pour $n \geqslant N$, et alors $0 < \frac1{u_n} < \varepsilon$.

Réciproquement, si $u_n \to 0$ et $u_n > 0$ pour $n \geqslant N_0$, soit $A \in \mathbb R$, $A' = \max(A, 1)$, et $N$ tel que $|u_n| < 1/A'$ pour $n \geqslant N$ : pour $n \geqslant \max(N, N_0)$, on a $0 < u_n < 1/A'$, donc $\frac1{u_n} > A' \geqslant A$.

(iv) Écrivons $q = 1 + h$ avec $h > 0$. L'inégalité de Bernoulli $(1 + h)^n \geqslant 1 + nh$ se démontre par récurrence sur $n$ : elle est vraie pour $n = 0$, et si elle l'est au rang $n$, alors $$\begin{aligned} (1 + h)^{n+1} &\geqslant (1 + nh)(1 + h) \\ &= 1 + (n+1)h + nh^2 \\ &\geqslant 1 + (n+1)h. \end{aligned}$$ Comme $(nh)_n$ n'est pas majorée, par la propriété d'Archimède, la suite $(1 + nh)$ tend vers $+\infty$ : pour tout $A$, il existe $N$ tel que $Nh > A$, et alors $1 + nh > A$ pour $n \geqslant N$. Par (i), $q^n \to +\infty$.

Si $q = 0$, la suite $(q^n)_{n \geqslant 1}$ est nulle. Si $0 < |q| < 1$, alors $\frac1{|q|} > 1$, donc $\big(\frac1{|q|}\big)^n \to +\infty$, et par (iii), $$|q^n| = |q|^n = 1 \big/ \Big(\frac1{|q|}\Big)^n \to 0,$$ ce qui équivaut à $q^n \to 0$.