Proposition 5Suites réelles et limites

Suites extraites

Énoncé

Une suite extraite de la suite $(u_n)$ est une suite $(u_{\varphi(n)})_{n \in {\mathbb N}}$ , où $\varphi : \mathbb N \to \mathbb N$ est strictement croissante. On a alors $\varphi(n) \geqslant n$ pour tout $n$ .

(i) Si $(u_n)$ tend vers une limite $\ell \in {\mathbb R}$ , ou vers $+\infty$ , ou vers $-\infty$ , toute suite extraite de $(u_n)$ tend vers la même limite.

(ii) Si $u_{2n} \to \ell$ et $u_{2n+1} \to \ell$ , alors $u_n \to \ell$ .

(iii) Si deux suites extraites de $(u_n)$ convergent vers des limites différentes, $(u_n)$ diverge.

Démonstration

L'inégalité $\varphi(n) \geqslant n$ se démontre par récurrence : $\varphi(0) \geqslant 0$ , et si $\varphi(n) \geqslant n$ , alors $\varphi(n+1) > \varphi(n) \geqslant n$ , d'où $\varphi(n+1) \geqslant n + 1$ puisque ce sont des entiers.

(i) Supposons $u_n \to \ell$ et soit $\varepsilon > 0$ , et $N$ tel que $|u_m - \ell| < \varepsilon$ pour $m \geqslant N$ . Pour $n \geqslant N$ , on a $\varphi(n) \geqslant n \geqslant N$ , donc $|u_{\varphi(n)} - \ell| < \varepsilon$ . Le même argument, avec « $u_m > A$ » au lieu de « $|u_m - \ell| < \varepsilon$ », traite le cas de $+\infty$ , et l'on passe à l'opposé pour $-\infty$ .

(ii) Soit $\varepsilon > 0$ , $N_1$ tel que $|u_{2k} - \ell| < \varepsilon$ pour $k \geqslant N_1$ , et $N_2$ tel que $|u_{2k+1} - \ell| < \varepsilon$ pour $k \geqslant N_2$ . Soit $n \geqslant \max(2N_1, 2N_2 + 1)$ . Si $n = 2k$ est pair, alors $k \geqslant N_1$ ; si $n = 2k + 1$ est impair, alors $k \geqslant N_2$ . Dans les deux cas, $|u_n - \ell| < \varepsilon$ .

(iii) Si $(u_n)$ convergeait vers $\ell$ , les deux suites extraites convergeraient vers $\ell$ par (i), et leurs limites seraient égales par unicité de la limite.

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Remarque

Le point (iii) est la façon la plus rapide de prouver une divergence. Pour $u_n = (-1)^n + \frac1{n+1}$ , les termes pairs $1 + \frac1{2k+1}$ tendent vers $1$ et les termes impairs $-1 + \frac1{2k+2}$ vers $-1$ : la suite diverge, alors même que chacune de ses deux moitiés converge.

Les termes d'indice pair de

u_n = (-1)^n + \frac1{n+1}

, en rouge, décroissent vers

1

, et ceux d'indice impair, en bleu, décroissent vers

-1

: ce sont deux suites extraites de limites différentes, et la suite

(u_n)

diverge.

Remarque

L'erreur la plus répandue, dans (ii), est d'oublier que les deux suites extraites doivent recouvrir tous les indices. Les suites $(u_{3n})$ et $(u_{3n+1})$ peuvent converger vers la même limite sans que $(u_n)$ converge, puisque les termes $u_{3n+2}$ restent libres. En revanche, l'énoncé vaut pour toute famille finie de suites extraites dont les indices recouvrent $\mathbb N$ à partir d'un certain rang, avec la même preuve.

Remarque

Le critère (ii) sera appliqué aux sommes partielles de séries alternées, dont les termes pairs et les termes impairs forment des suites adjacentes (Suites adjacentes). Le théorème de Bolzano-Weierstrass (Bolzano-Weierstrass) dira ensuite que toute suite bornée a au moins une suite extraite convergente.

Repose sur

Limites infinies et comparaison

Sert à

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