Définition 1Suites réelles et limites

Suite convergente, limite

Une propriété $P(n)$ est vraie à partir d'un certain rang s'il existe $N \in \mathbb N$ tel qu'elle soit vraie pour tout $n \geqslant N$ . Dire que $u_n \to \ell$ , c'est donc dire que, pour tout $\varepsilon > 0$ , l'inégalité $|u_n - \ell| < \varepsilon$ est vraie à partir d'un certain rang.

Il en résulte aussitôt que $u_n \to \ell$ équivaut à $u_n - \ell \to 0$ , et aussi à $|u_n - \ell| \to 0$ , puisque les trois définitions portent sur la même quantité $|u_n - \ell|$ .

La convergence ne dépend pas des premiers termes : modifier un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la limite, puisqu'il suffit d'agrandir $N$ . Pour la même raison, une suite qui n'est définie qu'à partir d'un rang $n_0$ , comme $(1/n)_{n \geqslant 1}$ , converge vers $\ell$ si la définition est satisfaite pour les $n \geqslant \max(N, n_0)$ ; tous les énoncés de ce chapitre valent pour de telles suites.

La définition métrique s'applique aussi aux suites de fonctions, point par point : une suite $(f_n)$ d'applications d'un ensemble $X$ dans un espace métrique $(Y, d)$ converge simplement vers $f : X \to Y$ si, pour tout $x \in X$ , la suite $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$ , c'est-à-dire si $d(f_n(x), f(x)) \to 0$ . Le rang à partir duquel $d(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$ dépend alors de $x$ en général.

Énoncé

Une suite réelle est une suite $(u_n)_{n \in {\mathbb N}}$ d'éléments de ${\mathbb R}$ . Elle converge vers le réel $\ell$ si $\begin{aligned} &\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb N, \\ &\qquad \forall n \geqslant N,\quad |u_n - \ell| < \varepsilon. \end{aligned}$ On écrit alors $u_n \to \ell$ , ou $u_n \xrightarrow[n \to \infty]{} \ell$ . La suite est convergente s'il existe un réel $\ell$ vers lequel elle converge, et divergente sinon.

C'est la définition métrique de la limite, appliquée à la distance $d(x, y) = |x - y|$ de $\mathbb R$ .

Remarque

La suite $(1/n)_{n \geqslant 1}$ tend vers $0$ précisément parce que ${\mathbb R}$ est archimédien : pour $\varepsilon > 0$ , il faut un $N$ tel que $N\varepsilon > 1$ .

Remarque

La définition donne un rang explicite dès que l'on sait majorer l'écart. Pour $u_n = \frac{n+1}{2n+3}$ , on calcule $\Big|u_n - \frac12\Big| = \frac{1}{4n + 6},$ de sorte que $u_n \to \frac12$ .

Pour $\varepsilon = 10^{-3}$ , l'inégalité $\frac1{4n+6} < 10^{-3}$ équivaut à $4n + 6 > 1000$ , c'est-à-dire à $n \geqslant 249$ : à partir du rang $249$ , et pas avant, tous les termes sont à moins d'un millième de $\frac12$ . Le rang grandit quand $\varepsilon$ diminue, et c'est tout le sens de la définition.

Pour

u_n = \frac{n+1}{2n+3}

, la bande bleue est

]\ell - \varepsilon_1, \ell + \varepsilon_1[

avec

\varepsilon_1 = \frac1{10}

, et la bande rouge celle de

\varepsilon_2 = \frac1{30}

: tous les termes sont dans la bande bleue à partir du rang

N_1 = 2

, et dans la rouge à partir du rang

N_2 = 7

. Les termes

u_1

u_6

sont exactement sur le bord de chaque bande, à distance

\varepsilon

\ell

, et n'y comptent pas, puisque l'inégalité de la définition est stricte.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une suite converge vers $\ell$ dès que ses termes « se rapprochent » de $\ell$ . Les termes de $(1/n)_{n \geqslant 1}$ se rapprochent de $-1$ à chaque pas, puisque $|1/n - (-1)| = 1 + 1/n$ décroît, mais ils restent à une distance supérieure à $1$ : la suite ne converge pas vers $-1$ . Ce que demande la définition, c'est que l'écart devienne plus petit que tout $\varepsilon > 0$ donné à l'avance.

Remarque

L'ordre des quantificateurs est essentiel, et il le sera de même pour la continuité (Continuité en un point) : le rang $N$ dépend de $\varepsilon$ . Écrire $\exists N,\ \forall \varepsilon > 0$ demanderait que la suite soit constante égale à $\ell$ à partir du rang $N$ .

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Unicité de la limite ; une suite convergente est bornée Théorème d'encadrement Limites et inégalités