Théorème 1Suites réelles et limites

Théorème d'encadrement

Énoncé

Soit $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles telles que $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(w_n)$ converge, et $w_n \to \ell$ .

En particulier, s'il existe une suite $(\alpha_n)$ qui tend vers $0$ et telle que $|w_n - \ell| \leqslant \alpha_n$ à partir d'un certain rang, alors $w_n \to \ell$ .

Démonstration

Soit $N_0$ tel que $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$ pour $n \geqslant N_0$ , et $\varepsilon > 0$ . Il existe $N_1$ tel que $u_n > \ell - \varepsilon$ pour $n \geqslant N_1$ , et $N_2$ tel que $v_n < \ell + \varepsilon$ pour $n \geqslant N_2$ . Pour $n \geqslant \max(N_0, N_1, N_2)$ , $\ell - \varepsilon < u_n \leqslant w_n \leqslant v_n < \ell + \varepsilon,$ c'est-à-dire $|w_n - \ell| < \varepsilon$ .

Avec

u_n = 1 - \frac1{n+1}

en bleu,

v_n = 1 + \frac2{n+2}

en vert,

w_n = 1 + \frac{(-1)^n}{2(n+1)}

en rouge, qui vérifient

u_n \leqslant w_n \leqslant v_n

, et

\varepsilon = \frac15

: la suite

(u_n)

est dans la bande grise à partir du rang

N_1 = 5

, la suite

(v_n)

à partir du rang

N_2 = 9

, et à partir de

\max(N_1, N_2)

la suite

(w_n)

, prise entre les deux, ne peut plus en sortir. Ici

(w_n)

y entre dès le rang

2

, mais la preuve n'a besoin que du rang garanti par l'encadrement.

Pour le second énoncé, on applique le premier à $\ell - \alpha_n \leqslant w_n \leqslant \ell + \alpha_n$ , en remarquant que $|(\ell \pm \alpha_n) - \ell| = |\alpha_n|$ , de sorte que $\ell - \alpha_n \to \ell$ et $\ell + \alpha_n \to \ell$ .

□

Remarque

Soit $w_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k}$ pour $n \geqslant 1$ . Chacun des $n$ termes est compris entre $\frac{n}{n^2 + n}$ et $\frac{n}{n^2 + 1}$ , d'où $\frac{n}{n+1} \leqslant w_n \leqslant \frac{n^2}{n^2+1}.$

Les deux bornes sont à distance $\frac1{n+1}$ et $\frac1{n^2+1}$ de $1$ , toutes deux inférieures à $\frac1n$ : elles tendent vers $1$ , et donc $w_n \to 1$ . Numériquement, $w_{10} \approx 0{,}949$ , $w_{100} \approx 0{,}995$ et $w_{1000} \approx 0{,}9995$ .

On ne dispose d'aucune expression simple de $w_n$ , et l'on n'en a pas besoin : l'encadrement donne la limite sans calculer la somme.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'encadrer par deux suites de limites différentes : de $0 \leqslant w_n \leqslant 1$ , on ne tire rien sur la convergence de $(w_n)$ , comme le montre $w_n = \frac12(1 + (-1)^n)$ .

Repose sur

Suite convergente, limite

Sert à

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