Proposition 3Suites réelles et limites

Limites et inégalités

Énoncé

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles telles que $u_n \to \ell$ et $v_n \to \ell'$ .

(i) Si $\ell < \ell'$ , alors $u_n < v_n$ à partir d'un certain rang. En particulier, si $\ell > a$ , alors $u_n > a$ à partir d'un certain rang.

(ii) Passage à la limite. Si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \leqslant \ell'$ . En particulier, si $a \leqslant u_n \leqslant b$ à partir d'un certain rang, alors $a \leqslant \ell \leqslant b$ .

Démonstration

(i) Posons $\varepsilon = \frac12(\ell' - \ell) > 0$ . Il existe $N_1$ tel que $u_n < \ell + \varepsilon$ pour $n \geqslant N_1$ , et $N_2$ tel que $v_n > \ell' - \varepsilon$ pour $n \geqslant N_2$ . Comme $\ell + \varepsilon = \ell' - \varepsilon$ , on a $u_n < v_n$ pour $n \geqslant \max(N_1, N_2)$ . Le cas particulier s'obtient en appliquant ce qui précède à la suite constante égale à $a$ , de limite $a < \ell$ , et à la suite $(u_n)$ , placée dans le rôle de $(v_n)$ .

(ii) Supposons $u_n \leqslant v_n$ pour $n \geqslant N$ et, par l'absurde, $\ell' < \ell$ . D'après (i), où l'on échange les rôles des deux suites, il existe $N'$ tel que $v_n < u_n$ pour $n \geqslant N'$ . Pour $n = \max(N, N')$ , on aurait à la fois $u_n \leqslant v_n$ et $v_n < u_n$ . Le cas particulier s'obtient avec des suites constantes.

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de passer à la limite dans une inégalité stricte en la gardant stricte. On a $\frac1n > 0$ pour tout $n \geqslant 1$ , et pourtant $\lim \frac1n = 0$ : les inégalités strictes deviennent larges à la limite, et (ii) n'affirme rien de plus.

Remarque

Le point (ii) suppose que les deux suites convergent ; il ne sert pas à établir une convergence. C'est le rôle du théorème d'encadrement (Encadrement), qui conclut à l'existence de la limite.

Remarque

C'est sous cette forme que la démonstration séquentielle des bornes atteintes, rappelée en remarque au nœud Bornes atteintes, conclut, en passant à la limite dans $M - \frac1{\varphi(n)} < f(x_{\varphi(n)}) \leqslant M$ .

Repose sur

Suite convergente, limite

Sert à

Théorème des suites adjacentes