Théorème des bornes atteintes

Les deux étapes suivent le même schéma, par la propriété de la borne supérieure (Borne supérieure). Pour l'intuition, la partie $A$ considérée est un intervalle d'origine $a$, que l'on prolonge au-delà de sa borne supérieure tant que celle-ci n'est pas $b$ ; la démonstration n'a pas besoin de le vérifier.

La fonction est majorée. Soit $A$ l'ensemble des $x \in [a,b]$ tels que $f$ soit majorée sur $[a, x]$. Il contient $a$ et il est majoré par $b$ ; soit $s = \sup A \in [a, b]$. Par continuité en $s$, avec $\varepsilon = 1$, il existe $\delta > 0$ tel que $f(t) < f(s) + 1$ pour $t \in [a, b]$ et $|t - s| < \delta$.

Comme $s - \delta$ ne majore pas $A$, il existe $x \in A$ tel que $x > s - \delta$ ; soit $K$ un majorant de $f$ sur $[a, x]$. Posons $y = \min\big(b, s + \frac\delta2\big)$. Un point $t \in [a, y]$ vérifie $t \leqslant x$, ou bien $s - \delta < x < t \leqslant s + \frac\delta2$, et dans ce second cas $f(t) < f(s) + 1$. Ainsi $f$ est majorée sur $[a, y]$ par $\max(K, f(s) + 1)$, et $y \in A$.

Par suite $y \leqslant s$, ce qui exclut $y = s + \frac\delta2$ : donc $y = b$, et $f$ est majorée sur $[a, b]$.

La borne supérieure est atteinte. Soit $M = \sup f$, et supposons que $f(t) < M$ pour tout $t \in [a, b]$. Soit $B$ l'ensemble des $x \in [a, b]$ tels que $\sup_{[a, x]} f < M$ ; il contient $a$ et il est majoré par $b$, et l'on pose $s = \sup B$.

Par continuité en $s$, avec $\varepsilon = \frac{M - f(s)}2 > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $f(t) < \frac{f(s) + M}2$ pour $t \in [a, b]$ et $|t - s| < \delta$. Comme plus haut, il existe $x \in B$ tel que $x > s - \delta$, et, pour $y = \min\big(b, s + \frac\delta2\big)$, $$\sup_{[a, y]} f \leqslant \max\Big(\sup_{[a, x]} f,\ \frac{f(s) + M}2\Big) < M.$$ Donc $y \in B$, puis $y = b$ comme plus haut, et $\sup_{[a, b]} f < M$, ce qui contredit la définition de $M$. Il existe donc $d \in [a, b]$ tel que $f(d) = M$.

Le cas de la borne inférieure s'obtient en remplaçant $f$ par $-f$.