AxiomeAnalyse réelle

ℝ, corps ordonné complet

C'est la propriété qui caractérise $\mathbb R$ parmi les corps totalement ordonnés, et celle qui manque à ${\mathbb Q}$ : tout le reste de l'analyse réelle s'en déduit. L'existence d'un tel corps est établie au nœud Corps ordonné complet, et son unicité, à unique isomorphisme près, au nœud Unicité de ℝ.

La valeur absolue $|x| = \max(x, -x)$ est positive, puisque l'un des deux réels $x$ et $-x$ l'est ; elle vérifie $|-x| = |x|$, et $|x| = 0$ seulement si $x \leqslant 0$ et $-x \leqslant 0$, c'est-à-dire si $x = 0$.

Par définition, $x \leqslant |x|$ et $-x \leqslant |x|$. En ajoutant, $x + y \leqslant |x| + |y|$ et $-(x + y) \leqslant |x| + |y|$, c'est-à-dire l'inégalité triangulaire $|x + y| \leqslant |x| + |y|$.

De plus $|xy| = |x|\,|y|$ : si $x$ et $y$ sont de même signe, $xy = |x|\,|y| \geqslant 0$, et sinon $xy = -|x|\,|y| \leqslant 0$ ; dans les deux cas, $\max(xy, -xy) = |x|\,|y|$.

Ainsi $d(x, y) = |x - y|$ est symétrique, ne s'annule que pour $x = y$, et vérifie $d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z)$ en appliquant l'inégalité triangulaire à $x - z = (x - y) + (y - z)$ : elle fait de $\mathbb R$ un espace métrique.