Théorème 1Les nombres réels

ℝ est un corps ordonné complet

Un corps ordonné complet est un corps ordonné qui a la propriété de la borne supérieure : toute partie non vide et majorée a une borne supérieure.

Énoncé

${\mathbb R}$ est un corps ordonné complet, qui contient ${\mathbb Q}$ comme sous-corps ordonné.

Démonstration

$\mathbb R$ est un corps ordonné, dont l'ordre est l'inclusion des coupures (Multiplication des réels, théorème Corps ordonné, ℚ ⊂ ℝ) ; il a la propriété de la borne supérieure (Coupures de ℚ), et $\mathbb Q$ s'y plonge par $q \mapsto q^*$ , morphisme injectif de corps ordonnés, dont l'image est un sous-corps ordonné de $\mathbb R$ .

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Remarque

C'est l'énoncé que l'analyse réelle prend pour point de départ, au nœud Borne supérieure. La construction elle-même n'y servira plus : seules comptent les propriétés de corps ordonné complet, dont le nœud Unicité de ℝ montre qu'elles déterminent $\mathbb R$ .

Repose sur

ℝ est un corps ordonné

Sert à

Un corps ordonné complet est archimédien