Unicité du corps ordonné complet

On identifie $\mathbb Q$ à ses images dans $K$ et $K'$ (ℚ dans tout corps ordonné). Pour $x \in K$, l'ensemble $Q_x = \{q \in \mathbb Q : q < x\}$ est non vide et majoré dans $K'$ (Archimède, densité de ℚ), donc $f(x)$ existe.

Caractérisation. Pour $q \in \mathbb Q$, on a $q < f(x) \iff q < x$. En effet, si $q < x$, la densité fournit $q' \in \mathbb Q$ avec $q < q' < x$, et $q < q' \leqslant f(x)$. Si $q \geqslant x$, tout élément de $Q_x$ est inférieur à $q$, donc $f(x) \leqslant q$.

Comme $\mathbb Q$ est dense dans $K'$, deux éléments de $K'$ précédés par les mêmes rationnels sont égaux ; $f(x)$ est donc l'unique élément de $K'$ précédé exactement par les rationnels de $Q_x$, et $f(q) = q$ pour $q \in \mathbb Q$.

Bijectivité. En échangeant les rôles, on définit $g : K' \to K$ avec $q < g(x') \iff q < x'$. Alors $q < f(g(x')) \iff q < g(x') \iff q < x'$, donc $f(g(x')) = x'$ ; de même $g(f(x)) = x$.

Si $x < y$, la densité fournit des rationnels $x < q < q' < y$, et $$f(x) \leqslant q < q' \leqslant f(y) :$$ $f$ est strictement croissante.

Additivité. Pour $q \in \mathbb Q$, on a $q < x + y$ si et seulement s'il existe des rationnels $q_1 < x$ et $q_2 < y$ avec $q = q_1 + q_2$.

Dans le sens direct, avec $\delta = x + y - q > 0$, on choisit $q_1 \in \mathbb Q$ tel que $x - \delta < q_1 < x$, et $q_2 = q - q_1 < y$. La même équivalence vaut dans $K'$. Donc $$\begin{aligned} q < f(x + y) &\iff q < x + y \\ &\iff q < f(x) + f(y), \end{aligned}$$ et $f(x + y) = f(x) + f(y)$.

Multiplicativité. Soient $x, y > 0$. Pour $q > 0$ rationnel, on a de même $q < xy$ si et seulement si $q = q_1 q_2$ avec $0 < q_1 < x$ et $0 < q_2 < y$ rationnels.

En effet, si $0 < q < xy$, alors $q/y < x$, et la densité fournit un rationnel $q_1$ avec $q/y < q_1 < x$ ; alors $q_1 > 0$, et $q_2 = q/q_1$ est un rationnel qui vérifie $0 < q_2 < y$, puisque $q < q_1 y$. Réciproquement, $q_1 q_2 < x q_2 < xy$. La même équivalence vaut dans $K'$.

Comme $f(x), f(y) > 0$, les rationnels $q > 0$ qui précèdent $f(xy)$ et $f(x)f(y)$ sont donc les mêmes ; les rationnels $q \leqslant 0$ précèdent l'un et l'autre, qui sont strictement positifs. Donc $f(xy) = f(x)f(y)$. Le cas général s'en déduit par les signes, puisque $f(-x) = -f(x)$ par additivité.

Unicité. Un isomorphisme de corps ordonnés $h$ fixe $\mathbb Q$ (ℚ dans tout corps ordonné) et est croissant, donc $q < h(x) \iff q < x$ pour tout rationnel $q$ ; par la caractérisation, $h(x) = f(x)$.