Un corps ordonné complet est archimédien

(i) Supposons $x > 0$ et $nx \leqslant y$ pour tout $n \in {\mathbb N}$. La partie $A = \{nx : n \in \mathbb N\}$ est non vide et majorée ; soit $s = \sup A$. Comme $s - x < s$, l'élément $s - x$ ne majore pas $A$ : il existe $n$ tel que $nx > s - x$, d'où $(n + 1)x > s$, ce qui contredit $(n + 1)x \in A$.

(ii) Par (i), il existe $n \geqslant 1$ tel que $n(y - x) > 1$. L'ensemble $M$ des entiers relatifs $m$ tels que $m > nx$ est non vide, par (i) appliqué à $nx$, et minoré, par (i) appliqué à $-nx$. Il a donc un plus petit élément $m$ (Ordre de ℤ). Alors $m - 1 \leqslant nx < m$, donc $nx < m \leqslant nx + 1 < ny$, et $x < m/n < y$.

(iii) Comme en (ii), l'ensemble des entiers relatifs $m$ tels que $m > x$ est non vide et minoré, par (i) appliqué à $x$ et à $-x$ ; son plus petit élément $m$ vérifie $m - 1 \leqslant x < m$, et $k = m - 1$ convient. Si $k$ et $k'$ conviennent, alors $k \leqslant x < k' + 1$ et $k' \leqslant x < k + 1$, donc $k < k' + 1$ et $k' < k + 1$, c'est-à-dire $k \leqslant k'$ et $k' \leqslant k$ entre entiers : $k = k'$.