L'ordre de ℤ

(i) Réflexivité : $0 \in \mathbb N$. Antisymétrie : si $y - x = m$ et $x - y = n$ sont dans $\mathbb N$, alors $m + n = 0$, donc $m = n = 0$. Transitivité : $\mathbb N$ est stable par addition. Totalité : $y - x$ s'écrit $n$ ou $-n$ avec $n \in \mathbb N$ (Construction de ℤ).

Pour $m, n \in \mathbb N$, $n - m \in \mathbb N$ équivaut à l'existence de $k$ avec $m + k = n$, c'est-à-dire à $m \leqslant n$ dans $\mathbb N$ (Propriétés des opérations).

Enfin $(y + z) - (x + z) = y - x$, et $\mathbb N$ est stable par produit.

(ii) Soit $A$ non vide, minorée par $m$. L'ensemble $\{a - m : a \in A\}$ est une partie non vide de $\mathbb N$ ; il a un plus petit élément $k$ (Bon ordre sur ℕ), et $m + k$ est le plus petit élément de $A$. Pour une partie majorée, on applique ce résultat à $\{-a : a \in A\}$.

(iii) Les deux membres de la première égalité valent $mn$ si $x = \pm m$ et $y = \pm n$. Pour la seconde, $-|x| \leqslant x \leqslant |x|$ et de même pour $y$ ; en ajoutant, $-(|x| + |y|) \leqslant x + y \leqslant |x| + |y|$, ce qui donne l'inégalité.