Proposition 1Les nombres rationnels

Corps ordonnés, ordre de ℚ

Un corps ordonné est un corps $K$ muni d'un ordre total tel que $x \leqslant y$ entraîne $x + z \leqslant y + z$ , et que $0 \leqslant x$ et $0 \leqslant y$ entraînent $0 \leqslant xy$ .

Énoncé

(i) Dans un corps ordonné, $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$ , $1 > 0$ , et $x > 0$ entraîne $1/x > 0$ . Si $x \leqslant y$ et $z \geqslant 0$ , alors $xz \leqslant yz$ .

(ii) Soit $A$ un anneau intègre muni d'un ordre total compatible avec ses lois au sens du point (i) de Ordre de ℤ. La relation « $a/b \geqslant 0$ si et seulement si $ab \geqslant 0$ dans $A$ » définit sur son corps des fractions un ordre de corps ordonné, qui prolonge celui de $A$ . En particulier, pour $A = {\mathbb Z}$ , elle définit sur ${\mathbb Q}$ un ordre de corps ordonné, qui prolonge celui de $\mathbb Z$ .

(iii) C'est le seul ordre qui fasse de $\mathbb Q$ un corps ordonné.

Démonstration

(i) Si $x \leqslant 0$ , alors $0 = x - x \leqslant -x$ en ajoutant $-x$ ; donc $x$ ou $-x$ est positif, et $x^2 = (-x)^2 \geqslant 0$ . Ainsi $1 = 1^2 \geqslant 0$ , et $1 \neq 0$ . Si $x > 0$ , alors $1/x = x \cdot (1/x)^2 \geqslant 0$ , et $1/x \neq 0$ . Enfin $(y - x)z \geqslant 0$ .

(ii) Deux faits sur $A$ . Les calculs de (i) n'emploient que la compatibilité de l'ordre avec les lois, et valent donc dans $A$ : tout carré y est positif. Si $b \neq 0$ , alors $b^2 \neq 0$ par intégrité, donc $b^2 > 0$ . De même, si $s > 0$ et $t > 0$ , alors $st \geqslant 0$ , et $st \neq 0$ par intégrité : $st > 0$ . Ainsi un élément $u$ et son produit $uv$ par un $v > 0$ sont de même signe : si $u < 0$ , alors $-u > 0$ , donc $-uv > 0$ .

Bonne définition. Si $a/b = a'/b'$ , alors $ab' = a'b$ , et $ab \cdot b'^2 = (ab')(bb') = (a'b)(bb') = a'b' \cdot b^2$ . Comme $b^2 > 0$ et $b'^2 > 0$ , $ab$ et $a'b'$ ont donc le même signe que cette valeur commune.

Soit $P$ l'ensemble des fractions $\geqslant 0$ , et $x \leqslant y$ si $y - x \in P$ . $P$ est stable par somme et par produit : si $ab \geqslant 0$ et $cd \geqslant 0$ , alors $(ad + bc)bd = ab\,d^2 + cd\,b^2 \geqslant 0$ et $(ac)(bd) = (ab)(cd) \geqslant 0$ .

On a $P \cap (-P) = \{0\}$ , car $ab \geqslant 0$ et $-ab \geqslant 0$ donnent $ab = 0$ , donc $a = 0$ par intégrité ; et $P \cup (-P)$ est le corps des fractions tout entier, par totalité de l'ordre de $A$ . Ces trois propriétés donnent respectivement la transitivité et la compatibilité, l'antisymétrie, et la totalité ; la réflexivité vient de $0 \in P$ .

Pour $n \in A$ , $n/1 \geqslant 0$ équivaut à $n \times 1 \geqslant 0$ , c'est-à-dire à $n \geqslant 0$ : l'ordre prolonge celui de $A$ , et en particulier celui de $\mathbb Z$ pour $A = \mathbb Z$ .

(iii) Soit $\leqslant'$ un ordre de corps ordonné sur $\mathbb Q$ , et $P'$ ses éléments positifs. Par (i), $1 \in P'$ , donc tout entier naturel, somme de $1$ , appartient à $P'$ ; pour $a \geqslant 0$ et $b > 0$ entiers, $a/b = a \cdot (1/b) \in P'$ , encore par (i). Donc $P \subset P'$ .

Si $x \in P' \setminus P$ , alors $-x \in P \subset P'$ , et $x \in P' \cap (-P') = \{0\} \subset P$ : contradiction. Donc $P' = P$ .

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Remarque

Le point (i) interdit à certains corps tout ordre compatible : dans $\mathbb C$ , $-1 = i^2$ serait positif, et dans ${\mathbb Z/p\mathbb Z}$ , la somme de $p$ termes égaux à $1$ serait nulle et strictement positive à la fois.

Repose sur

ℚ, corps des fractions de ℤ Structures d'ordre

Sert à

ℚ se plonge dans tout corps ordonné ℚ est archimédien et dense ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure