Théorie

ℂ

${\mathbb C} = {\mathbb R[X]}/(X^2+1)$ est le quotient d'un anneau par un idéal maximal, donc un corps. La classe $i$ de $X$ vérifie $i^2 = -1$, et tout élément s'écrit de manière unique $a + ib$ avec $a, b \in {\mathbb R}$.

Aucun ordre total n'en fait un corps ordonné, puisque dans un tel corps tout carré est positif et l'on aurait $-1 = i^2 \geqslant 0$. $\mathbb C$ est algébriquement clos, mais toutes les démonstrations connues de ce fait utilisent une propriété analytique de $\mathbb R$.