Théorème de d'Alembert-Gauss

Admis ici. La difficulté contournée est analytique : on montre que $|P|$ atteint un minimum sur $\mathbb C$, en utilisant que les parties fermées et bornées de $\mathbb C$ sont compactes, ce que seule l'analyse réelle, construite plus loin dans l'arbre, établit, puis qu'en un point où $P$ ne s'annule pas, on peut faire décroître $|P|$, ce qui demande l'existence de racines $k$-ièmes des nombres complexes.

Toutes les démonstrations connues utilisent une propriété de ce type, au minimum le théorème des valeurs intermédiaires pour les polynômes réels de degré impair.

Les conséquences se démontrent à partir du théorème. (i) Par récurrence sur $n$ : si $z_1$ est une racine de $P$, la division euclidienne par $X - z_1$ donne un reste constant, égal à $P(z_1) = 0$, donc $P = (X - z_1)Q$ avec $\deg Q = n - 1$ (Racines, (i)), et l'on applique l'hypothèse de récurrence à $Q$.

(ii) Un polynôme de degré $1$ est irréductible, et un polynôme de degré $2$ l'est si et seulement s'il n'a pas de racine réelle (Irréductibles, (iii)). Un polynôme réel de degré $\geqslant 3$ ayant une racine réelle $a$ n'est pas irréductible, puisque $X - a$ le divise (Racines, (i)).

Si $P \in \mathbb R[X]$, de degré $\geqslant 3$, n'a pas de racine réelle, soit $z$ une racine complexe ; alors $\bar z$ en est une autre, puisque $P(\bar z) = \overline{P(z)} = 0$ par (ii) du nœud Conjugué, module. Le polynôme $$\begin{aligned} (X - z)(X - \bar z) &= X^2 - 2\operatorname{Re}(z)X \\ &\quad + |z|^2 \end{aligned}$$ est réel. Comme $z \notin \mathbb R$, on a $z \neq \bar z$ (Conjugué, module, (ii)), et les deux racines distinctes $z$ et $\bar z$ donnent $(X - z)(X - \bar z) \mid P$ dans $\mathbb C[X]$ (Racines, (iii)) ; par unicité de la division euclidienne, il le divise aussi dans $\mathbb R[X]$ (Division des polynômes, (iii)), et $P$ n'est pas irréductible.

La dernière assertion découle de la factorisation en irréductibles dans $\mathbb R[X]$ (Irréductibles, (ii)).