Conjugaison et module

(i) On développe et l'on remplace $i^2$ par $-1$.

(ii) La première égalité est immédiate ; la deuxième se vérifie avec (i), les deux membres valant $(ac - bd) - i(ad + bc)$. Les deux dernières viennent de l'unicité de l'écriture $a + ib$ (Construction de ℂ).

(iii) $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$. Puis $$|zw|^2 = zw\,\overline{zw} = z\bar z\,w\bar w = |z|^2|w|^2,$$ et l'unicité de la racine positive donne $|zw| = |z||w|$. Enfin, si $z \neq 0$, alors $|z|^2 = a^2 + b^2 > 0$, une somme de deux carrés n'étant nulle que s'ils le sont tous deux (Ordre de ℚ, (i)), et $z \cdot \bar z/|z|^2 = 1$.

(iv) On a $$\begin{aligned} |z + w|^2 &= (z + w)(\bar z + \bar w) \\ &= |z|^2 + |w|^2 + 2\operatorname{Re}(z \bar w). \end{aligned}$$

Pour $u = c + id$, on a $$c \leqslant |c| = \sqrt{c^2} \leqslant \sqrt{c^2 + d^2} = |u|,$$ la racine carrée étant croissante (Racine carrée réelle). Appliqué à $u = z\bar w$, cela donne $\operatorname{Re}(z\bar w) \leqslant |z\bar w| = |z|\,|\bar w| = |z|\,|w|$, puisque $|\bar w| = |w|$, le conjugué de $c + id$ étant $c - id$. Donc $$\begin{aligned} |z + w|^2 &\leqslant |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w| \\ &= (|z| + |w|)^2, \end{aligned}$$ et l'on prend les racines, par croissance de la racine carrée.