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Proposition 3Les nombres complexes

Les automorphismes de ℂ qui fixent ℝ

Énoncé

Les seuls automorphismes de corps de ℂ{\mathbb C} qui fixent chaque réel sont l'identité et la conjugaison.

Démonstration

La conjugaison en est un (Conjugué, module). Soit σ\sigma un tel automorphisme. Alors σ(i)2=σ(i2)=σ(−1)=−1\sigma(i)^2 = \sigma(i^2) = \sigma(-1) = -1, donc (σ(i)−i)(σ(i)+i)=0(\sigma(i) - i)(\sigma(i) + i) = 0, et σ(i)=±i\sigma(i) = \pm i par intégrité. Pour z=a+ibz = a + ib, σ(z)=a+σ(i) b\sigma(z) = a + \sigma(i)\,b vaut zz ou zˉ\bar z.

□
Remarque

Le nombre ii n'est donc défini qu'au signe près : rien, dans la structure de corps de ℂ\mathbb C au-dessus de ℝ{\mathbb R}, ne distingue ii de −i-i. Choisir l'un, c'est choisir une orientation du plan.

Remarque

Sans la condition de fixer ℝ\mathbb R, l'axiome du choix fournit une infinité d'autres automorphismes de ℂ\mathbb C, tous discontinus et impossibles à décrire explicitement.

Repose sur

Conjugaison et module

Sert à

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