Racine carrée d'un réel positif

Unicité. Si $y, y' \geqslant 0$ et $y^2 = y'^2$, alors $(y - y')(y + y') = 0$. Si $y + y' = 0$, les deux sont nuls ; sinon $y = y'$.

Existence. Pour $x = 0$, $y = 0$ convient. Soit $x > 0$, et $A = \{t \geqslant 0 : t^2 \leqslant x\}$. Elle contient $m = \min(1, x)$, puisque $m^2 \leqslant m \leqslant x$, et elle est majorée par $M = \max(1, x)$, puisque $t > M$ entraîne $t^2 > t \geqslant x$. Soit $s = \sup A$, qui existe (Corps ordonné complet) ; on a $s \geqslant m > 0$.

Si $s^2 < x$, posons $$h = \min\Big(1, \frac{x - s^2}{2(2s + 1)}\Big) > 0.$$ Alors $(s + h)^2 \leqslant s^2 + h(2s + 1) < x$, donc $s + h \in A$, ce qui contredit $s = \sup A$.

Si $s^2 > x$, posons $h = \frac{s^2 - x}{2s} > 0$. Alors $s - h = \frac{s^2 + x}{2s} > 0$ et $(s - h)^2 = x + h^2 > x$ ; tout $t \in A$ vérifie $t^2 \leqslant x < (s - h)^2$, donc $t < s - h$, et $s - h$ est un majorant plus petit que $s$.

Il reste $s^2 = x$.

Croissance. La racine carrée est strictement croissante : si $0 \leqslant x < x'$, l'inégalité $\sqrt x \geqslant \sqrt{x'}$ donnerait $x = \sqrt x\,\sqrt x \geqslant \sqrt{x'}\,\sqrt x \geqslant \sqrt{x'}\,\sqrt{x'} = x'$ (Ordre de ℚ, (i)).