Théorème 3Les nombres rationnels

ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure

Énoncé

(i) Aucun rationnel $x$ ne vérifie $x^2 = 2$ .

(ii) La partie $A = \{x \in {\mathbb Q} : x^2 < 2\}$ est non vide et majorée, mais n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb Q$ . Ainsi $\mathbb Q$ n'a pas la propriété de la borne supérieure.

Démonstration

(i) Supposons $x = a/b$ sous forme irréductible (Construction de ℚ) et $a^2 = 2b^2$ . Alors $2 \mid a^2$ , donc $2 \mid a$ par le lemme d'Euclide (Nombres premiers) ; écrivons $a = 2c$ . Il vient $b^2 = 2c^2$ , donc $2 \mid b$ , ce qui contredit $a \wedge b = 1$ .

(ii) $1 \in A$ , et $2$ majore $A$ , puisque $x > 2$ entraîne $x^2 > 4$ . Supposons que $s = \sup A$ existe ; alors $s \geqslant 1 > 0$ .

Si $s^2 < 2$ , posons $h = \min\big(1, \frac{2 - s^2}{2(2s + 1)}\big) > 0$ . Comme $h^2 \leqslant h$ , on a $\begin{aligned} (s + h)^2 &\leqslant s^2 + h(2s + 1) \\ &\leqslant s^2 + \frac{2 - s^2}{2} < 2 : \end{aligned}$ $s + h \in A$ , et $s$ ne majore pas $A$ .

Si $s^2 > 2$ , posons $h = \frac{s^2 - 2}{2s} > 0$ . Alors $s - h = \frac{s^2 + 2}{2s} > 0$ et $(s - h)^2 = 2 + h^2 > 2$ . Pour $x \in A$ , ou bien $x \leqslant 0 < s - h$ , ou bien $0 < x$ et $x^2 < 2 < (s - h)^2$ , d'où $x < s - h$ . Ainsi $s - h < s$ majore $A$ , ce qui contredit la minimalité de $s$ .

Il reste $s^2 = 2$ , exclu par (i).

□

Remarque

La preuve est constructive : elle améliore explicitement tout candidat. Pour $s = 7/5$ , dont le carré $49/25$ est inférieur à $2$ , on trouve $h = 1/190$ et $s + h = 267/190$ , de carré $\frac{71289}{36100} \approx 1{,}9748 < 2.$

Pour $s = 3/2$ , dont le carré dépasse $2$ , on trouve $h = 1/12$ et $s - h = 17/12$ , de carré $\frac{289}{144} \approx 2{,}0069 > 2,$ qui est un majorant plus petit. Ce second calcul est exactement une étape de la méthode de Héron, $s \mapsto \frac12\big(s + \frac 2s\big)$ .

Remarque

La partie $\{x \in \mathbb Q : x \leqslant 0 \text{ ou } x^2 < 2\}$ est une coupure de $\mathbb Q$ qui n'est de la forme $]{\leftarrow}, q[$ pour aucun rationnel $q$ : c'est le nombre $\sqrt 2$ que la construction de $\mathbb R$ ajoutera.

En effet, si elle valait $]{\leftarrow}, q[$ , le rationnel $q$ majorerait $A$ , qu'elle contient. Pour $m < q$ , ou bien $m < 1$ , et $1 \in A$ dépasse $m$ ; ou bien $m \geqslant 1$ , et $(m + q)/2$ , strictement compris entre $m$ et $q$ , appartiendrait à la partie en étant strictement positif, donc à $A$ . Ainsi $q$ serait la borne supérieure de $A$ , ce qu'exclut (ii).

En haut, la coupure

\{x \in \mathbb Q : x \leqslant 0 \text{ ou } x^2 < 2\}

s'arrête sur un trou de

\mathbb Q

qu'aucun rationnel ne bouche. Le zoom reprend les calculs de la remarque précédente :

7/5

est amélioré en

267/190

, encore dans

A

, et le majorant

3/2

17/12

, majorant plus petit ; de part et d'autre du trou, tout candidat rationnel peut ainsi être rapproché.

Repose sur

Corps ordonnés, ordre de ℚ

Sert à

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