Théorème 1Les nombres rationnels

ℚ, corps des fractions de ℤ

Énoncé

L'anneau ${\mathbb Z}$ étant intègre (Anneau ℤ), son corps des fractions est noté ${\mathbb Q}$ : c'est le quotient de $\mathbb Z \times (\mathbb Z \setminus \{0\})$ par $(a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc$ , et $\mathbb Z$ s'y plonge par $a \mapsto a/1$ .

Tout rationnel s'écrit de manière unique $a/b$ avec $b \geqslant 1$ et $a \wedge b = 1$ : c'est son écriture irréductible.

Démonstration

La première partie est le théorème du nœud Corps des fractions.

Existence. Soit $x = a/b$ . Quitte à remplacer $(a, b)$ par $(-a, -b)$ , on peut supposer $b \geqslant 1$ . Soit $d = a \wedge b$ , non nul puisque $b \neq 0$ , et $a = da'$ , $b = db'$ . Alors $a/b = a'/b'$ , puisque $ab' = da'b' = a'b$ , avec $b' \geqslant 1$ .

Une relation de Bézout $au + bv = d$ donne, après simplification par $d$ , $a'u + b'v = 1$ , donc $a' \wedge b' = 1$ (PGCD, Bézout).

Unicité. Si $a/b = a'/b'$ sous forme irréductible, alors $ab' = a'b$ . Ainsi $b \mid ab'$ et $b \wedge a = 1$ , donc $b \mid b'$ par le lemme de Gauss ; de même $b' \mid b$ . Comme $b, b' \geqslant 1$ , on a $b = b'$ , puis $a = a'$ par intégrité.

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Remarque

L'écriture irréductible est un représentant canonique de chaque classe. Elle montre que l'on aurait pu définir $\mathbb Q$ comme un ensemble de couples, mais au prix de l'arithmétique de $\mathbb Z$ ; la construction par quotient ne la demande pas.

Chaque classe est formée des points entiers, hors de l'axe

b = 0

, d'une droite passant par l'origine :

(a, b) \sim (c, d)

signifie que

(a, b)

(c, d)

sont alignés avec l'origine. Le point rouge est l'écriture irréductible, l'unique point de la droite avec

b \geqslant 1

a \wedge b = 1

Repose sur

ℤ

Sert à

Corps ordonnés, ordre de ℚ ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables