ℤ est un anneau commutatif intègre

Bonne définition. Supposons $a + b' = a' + b =: s$. Alors, dans $\mathbb N$, $$\begin{aligned} &(ac + bd) + (a'd + b'c) \\ &= c(a + b') + d(a' + b) \\ &= (c + d)s, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} &(ad + bc) + (a'c + b'd) \\ &= c(a' + b) + d(a + b') \\ &= (c + d)s. \end{aligned}$$ Les deux membres de gauche sont égaux, c'est-à-dire $$\begin{aligned} &(ac + bd,\ ad + bc) \\ &\sim (a'c + b'd,\ a'd + b'c). \end{aligned}$$ La formule étant symétrique en ses deux arguments, il en va de même pour le second, et la multiplication est définie sur les classes par son graphe (Groupe quotient).

Axiomes. Chacun se ramène, sur les représentants, à une identité entre entiers naturels qui découle des propriétés du nœud Propriétés des opérations. Ainsi, la commutativité est évidente sur la formule ; pour l'associativité, les deux produits $((a, b)(c, d))(e, f)$ et $(a, b)((c, d)(e, f))$ ont pour première composante $ace + adf + bcf + bde$ et pour seconde $acf + ade + bce + bdf$. Pour la distributivité, $$\begin{aligned} &(a, b)\big((c, d) + (e, f)\big) \\ &= \big(a(c + e) + b(d + f), \\ &\qquad a(d + f) + b(c + e)\big), \end{aligned}$$ qui est la somme de $(ac + bd,\ ad + bc)$ et de $(ae + bf,\ af + be)$ ; la distributivité à droite s'en déduit par commutativité.

Le couple $(1, 0)$ est neutre, et $(a, 0)(c, 0) = (ac, 0)$ montre que $\iota$ respecte le produit.

Intégrité. On a $1 \neq 0$, puisque $\iota$ est injective. Écrivons $x = \pm m$ et $y = \pm n$ avec $m, n \in \mathbb N$ (Construction de ℤ). Alors $xy = \pm mn$, par les règles de signes d'un anneau (Anneau). Si $xy = 0$, alors $mn = 0$, donc $m = 0$ ou $n = 0$ (Propriétés des opérations), c'est-à-dire $x = 0$ ou $y = 0$.