Théorème 1Les entiers relatifs

ℤ, symétrisé de ℕ

Énoncé

Le monoïde $({\mathbb N}, +)$ est commutatif et tout élément y est régulier (Propriétés des opérations). Son symétrisé est noté ${\mathbb Z}$ : c'est le quotient de $\mathbb N \times \mathbb N$ par $(a, b) \sim (c, d) \iff a + d = b + c,$ muni de l'addition des représentants. C'est un groupe abélien, et $\iota : \mathbb N \to \mathbb Z$ , $n \mapsto \overline{(n, 0)}$ , est injective et additive ; on identifie désormais $n$ et $\iota(n)$ .

Tout élément de $\mathbb Z$ s'écrit $n$ ou $-n$ avec $n \in \mathbb N$ , et ces deux écritures ne coïncident que pour $0$ .

Démonstration

La première partie est le théorème du nœud Symétrisation.

Soit $\overline{(a, b)} \in \mathbb Z$ . L'ordre de $\mathbb N$ étant total, $b \leqslant a$ ou $a \leqslant b$ . Dans le premier cas, $a = b + k$ (Propriétés des opérations), et $(a, b) \sim (k, 0)$ puisque $a + 0 = b + k$ : la classe est $\iota(k)$ . Dans le second, $b = a + k$ et $(a, b) \sim (0, k)$ , dont la classe est $-\iota(k)$ .

Si $\iota(k) = -\iota(k')$ , alors $\iota(k + k') = 0$ , donc $k + k' = 0$ par injectivité, et $k = k' = 0$ .

□

Remarque

La classe de $(a, b)$ représente la « différence » $a - b$ . On ne peut pas la définir directement, puisque $a - b$ n'existe pas dans $\mathbb N$ quand $a < b$ ; on la remplace par l'ensemble de tous les couples qui devraient avoir la même différence.

Chaque droite oblique réunit les couples

(a, b)

d'une même classe, ceux qui devraient avoir la même différence, notée au bout de la droite. Le représentant rouge de chaque classe est

(k, 0)

(0, k)

, comme dans la preuve : il identifie la classe à

k

ou à

-k

Repose sur

Les entiers naturels Structures algébriques

Sert à

ℤ est un anneau commutatif intègre