Symétrisé d'un monoïde commutatif régulier

Équivalence. La réflexivité et la symétrie viennent de la commutativité. Si $a + d = b + c$ et $c + f = d + e$, alors, en ajoutant membre à membre, $$(a + f) + (c + d) = (b + e) + (c + d),$$ et la régularité de $c + d$ donne $a + f = b + e$.

Addition. Si $(a, b) \sim (a', b')$, alors $$\begin{aligned} (a + c) + (b' + d) &= (a + b') + (c + d) \\ &= (b + a') + (c + d) \\ &= (b + d) + (a' + c), \end{aligned}$$ donc $(a + c, b + d) \sim (a' + c, b' + d)$ ; de même pour le second terme. La somme des classes est donc bien définie, par son graphe, comme au nœud Groupe quotient. Elle hérite de l'associativité et de la commutativité de $M$.

Groupe. La classe de $(0, 0)$ est neutre. La classe de $(b, a)$ est symétrique de celle de $(a, b)$, puisque $(a + b, b + a) \sim (0, 0)$.

Plongement. $\iota(a + a') = \iota(a) + \iota(a')$ par définition de l'addition. Si $\iota(a) = \iota(a')$, alors $a + 0 = 0 + a'$, soit $a = a'$.

Enfin $\overline{(a, b)} = \overline{(a, 0)} + \overline{(0, b)}$, et $\overline{(0, b)} = -\iota(b)$ puisque $\overline{(0, b)} + \overline{(b, 0)} = \overline{(b, b)} = \overline{(0, 0)}$.