Proposition 6Structures d'ordre

Propriété de la borne supérieure

Un ensemble totalement ordonné $E$ a la propriété de la borne supérieure si toute partie non vide et majorée de $E$ a une borne supérieure.

Énoncé

Si $E$ a la propriété de la borne supérieure, toute partie non vide et minorée de $E$ a une borne inférieure.

Démonstration

Soit $A$ non vide et minorée, et $N$ l'ensemble de ses minorants. $N$ est non vide par hypothèse, et majorée par n'importe quel élément de $A$ , qui est non vide. Donc $s = \sup N$ existe. Comme dans la preuve du nœud Treillis complets, tout $a \in A$ majore $N$ , donc $s \leqslant a$ : $s$ minore $A$ , et c'est le plus grand minorant, $s = \inf A$ .

□

Remarque

Cette propriété est purement d'ordre : elle ne mentionne ni addition ni multiplication. C'est elle qui distinguera $\mathbb R$ de $\mathbb Q$ , où la partie des $x$ tels que $x^2 < 2$ est non vide et majorée sans borne supérieure. Le nœud suivant montre comment l'obtenir en complétant un ordre.

Repose sur

Treillis et treillis complets

Sert à

Complétion par les coupures de Dedekind