Proposition 4Structures d'ordre

Treillis et treillis complets

Un ensemble ordonné est un treillis si toute paire $\{x, y\}$ a une borne supérieure $x \vee y$ et une borne inférieure $x \wedge y$ . C'est un treillis complet si toute partie a une borne supérieure.

Énoncé

Dans un ensemble ordonné où toute partie a une borne supérieure, toute partie a aussi une borne inférieure : pour $A \subset E$ , $\inf A$ est la borne supérieure de l'ensemble des minorants de $A$ .

Démonstration

Soit $N$ l'ensemble des minorants de $A$ et $s = \sup N$ . Tout $a \in A$ majore $N$ , donc $s \leqslant a$ : $s$ est un minorant de $A$ , c'est-à-dire $s \in N$ . Comme $s$ majore $N$ , c'est le plus grand élément de $N$ , soit le plus grand des minorants : $s = \inf A$ .

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Remarque

Un treillis complet a un plus petit élément, $\sup \varnothing$ , et un plus grand, $\sup E$ . L'exemple type est $({\mathcal P}(E), \subset)$ ; l'ensemble des sous-groupes d'un groupe, ordonné par inclusion, en est un autre, où la borne inférieure est l'intersection et la borne supérieure le sous-groupe engendré par la réunion (Sous-groupe).

Repose sur

Majorants, plus grand élément, borne supérieure

Sert à

Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Propriété de la borne supérieure