ℂ comme quotient de ℝ[X]

Maximalité. L'idéal $(X^2 + 1)$ est distinct de $\mathbb R[X]$, puisque $X^2 + 1$, de degré $2$, n'est pas inversible (Anneau A[X], (iii)). Le polynôme $X^2 + 1$ n'a pas de racine réelle, puisque $x^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ dans le corps ordonné $\mathbb R$ (Ordre de ℚ). Le polynôme $X^2 + 1$, de degré $2$ sans racine réelle, est donc irréductible (Irréductibles, (iii)).

L'anneau $\mathbb R[X]$ est principal (K[X] principal) ; un idéal contenant $X^2 + 1$ s'écrit $(D)$ avec $D$ divisant $X^2 + 1$. Par irréductibilité, $D$ est une constante non nulle, et $(D) = \mathbb R[X]$, ou un multiple constant de $X^2 + 1$, et $(D) = (X^2 + 1)$. Le quotient est un corps (Idéaux premiers, maximaux).

Plongement de ℝ. La composée de l'inclusion de $\mathbb R$ dans $\mathbb R[X]$ et de la projection est un morphisme d'anneaux issu d'un corps vers un anneau non nul ; elle est injective (Corps).

Écriture. $i^2$ est la classe de $X^2 = (X^2 + 1) - 1$, c'est-à-dire $-1$. La division euclidienne de $P$ par $X^2 + 1$ donne un reste unique $a + bX$ (Division des polynômes) ; deux polynômes ont même classe si et seulement s'ils ont même reste, d'où l'existence et l'unicité de l'écriture $a + ib$.