Théorème 3Anneaux de polynômes

Division euclidienne des polynômes

Pour $P, B \in {A[X]}$ , on dit que $B$ divise $P$ , et l'on note $B \mid P$ , s'il existe $C \in A[X]$ tel que $P = BC$ .

Énoncé

(i) Soit $B \in A[X]$ un polynôme non nul dont le coefficient dominant est inversible dans $A$ . Pour tout $P \in A[X]$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes de $A[X]$ tel que $P = BQ + R \quad \text{et} \quad \deg R < \deg B.$ C'est la division euclidienne de $P$ par $B$ ; $Q$ est le quotient et $R$ le reste.

(ii) Si $K$ est un corps, la division euclidienne de $P$ par $B$ existe dans $K[X]$ pour tout $B \neq 0$ .

(iii) Si $A$ est un sous-anneau d'un anneau commutatif $A'$ et si le coefficient dominant de $B$ est inversible dans $A$ , le quotient et le reste de la division de $P$ par $B$ dans $A'[X]$ sont ceux de la division dans $A[X]$ . En particulier, $B$ divise $P$ dans $A'[X]$ si et seulement s'il le divise dans $A[X]$ .

Démonstration

(i) Existence, par récurrence forte sur le degré de $P$ (Bon ordre sur ℕ). Si $\deg P < \deg B$ , ce qui comprend le cas $P = 0$ , on prend $Q = 0$ et $R = P$ .

Sinon, soient $aX^p$ et $bX^q$ les termes dominants de $P$ et de $B$ , avec $p \geqslant q$ et $b$ inversible. Le polynôme $P_1 = P - ab^{-1}X^{p - q}B$ a pour coefficient d'indice $p$ celui de $P$ diminué de $ab^{-1}b = a$ , c'est-à-dire $0$ , et aucun coefficient non nul d'indice supérieur : $\deg P_1 < p$ .

Par hypothèse de récurrence, $P_1 = BQ_1 + R$ avec $\deg R < \deg B$ , et $P = B\,(ab^{-1}X^{p-q} + Q_1) + R.$

Unicité. Si $BQ + R = BQ' + R'$ avec $\deg R, \deg R' < \deg B$ , alors $B(Q - Q') = R' - R$ . Si l'on avait $Q \neq Q'$ , le membre de gauche serait de degré $\deg B + \deg(Q - Q') \geqslant \deg B$ , le coefficient dominant de $B$ étant inversible (Anneau A[X], (ii)), alors que celui de droite est de degré $< \deg B$ . Donc $Q = Q'$ , puis $R = R'$ .

(ii) Dans un corps, le coefficient dominant d'un polynôme non nul est inversible.

(iii) $A[X]$ est un sous-anneau de $A'[X]$ , formé des suites à valeurs dans $A$ . Le couple $(Q, R)$ obtenu dans $A[X]$ vérifie les conditions de (i) dans $A'[X]$ ; par unicité dans $A'[X]$ , c'est le quotient et le reste de la division dans $A'[X]$ . Si $B$ divise $P$ dans $A'[X]$ , ce reste est nul, et $B$ divise $P$ dans $A[X]$ .

□

Remarque

Dans ${\mathbb Z}[X]$ , divisons $P = X^4 + 2X^3 - X + 3$ par le polynôme unitaire $B = X^2 + X + 1$ . La preuve d'existence est un algorithme : chaque étape retranche à $P$ un multiple de $B$ qui en tue le terme dominant.

On retranche successivement

X^2B

XB

-2B

, c'est-à-dire qu'on ajoute les lignes bleues ; à chaque étape, le degré du reste partiel baisse d'au moins

1

, et l'on s'arrête quand il passe sous

\deg B = 2

. Le quotient, en bleu, se lit sous le diviseur ; le reste est la constante

5

, en rouge.

On trouve $P = (X^2 + X + 1)(X^2 + X - 2) + 5,$ ce que l'on vérifie en développant : le produit vaut $X^4 + 2X^3 - X - 2$ . Comme dans $\mathbb Z$ (Division euclidienne), le degré joue ici le rôle de la valeur absolue, et c'est sa décroissance stricte qui fait terminer l'algorithme.

Remarque

L'hypothèse sur le coefficient dominant ne peut pas être omise. Dans $\mathbb Z[X]$ , on ne peut pas diviser $X^2$ par $2X$ : une égalité $X^2 = 2X\,Q + R$ avec $R$ constant imposerait au coefficient de $X^2$ d'être pair, puisque $Q$ serait de degré $1$ . L'erreur la plus répandue est de diviser comme dans un corps sans vérifier que le coefficient dominant du diviseur est inversible.

Repose sur

L'anneau A[X], degré et intégrité

Sert à

Racines et multiplicités K[X] est principal ; PGCD et Bézout