Théorème 4Anneaux de polynômes

K[X] est principal ; PGCD et Bézout

Dans ce nœud, $K$ est un corps. Deux polynômes de ${K[X]}$ sont associés si l'un est le produit de l'autre par une constante non nulle. On note $(P) = P\,K[X]$ l'idéal principal engendré par $P$ (Idéal).

Énoncé

(i) $K[X]$ est un anneau principal : tout idéal $I$ s'écrit $(D)$ , pour un unique $D$ nul ou unitaire. Deux polynômes non nuls se divisent l'un l'autre si et seulement s'ils sont associés.

(ii) Pour $P, Q$ non tous deux nuls, le générateur unitaire $D$ de l'idéal $(P) + (Q)$ est le PGCD de $P$ et $Q$ , noté $P \wedge Q$ : il divise $P$ et $Q$ , tout diviseur commun de $P$ et $Q$ le divise, et il s'écrit $UP + VQ$ avec $U, V \in K[X]$ (Bézout). Les polynômes $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si $P \wedge Q = 1$ , ce qui équivaut à l'existence de $U, V$ tels que $UP + VQ = 1$ .

(iii) Gauss. Si $P$ divise $QR$ et si $P \wedge Q = 1$ , alors $P$ divise $R$ .

(iv) Si $K$ est un sous-corps d'un corps $L$ , le PGCD de $P$ et $Q$ dans $L[X]$ est le même que dans $K[X]$ .

Démonstration

(i) L'anneau $K[X]$ est intègre (Anneau A[X], (iii)). Si $I = \{0\}$ , $D = 0$ convient. Sinon, soit $B \in I$ non nul de degré minimal (Bon ordre sur ℕ).

Pour $P \in I$ , la division euclidienne $P = BQ + R$ (Division des polynômes, (ii)) donne $R = P - BQ \in I$ avec $\deg R < \deg B$ , donc $R = 0$ par minimalité : $I = (B)$ , et $D = b^{-1}B$ , où $b$ est le coefficient dominant de $B$ , est un générateur unitaire.

C'est l'argument du nœud Idéaux de ℤ, avec le degré au lieu de la valeur absolue.

Si $P = DC$ et $D = PC'$ avec $P \neq 0$ , alors $P = PC'C$ , donc $C'C = 1$ par intégrité, et $C$ est une constante non nulle (Anneau A[X], (iii)) ; la réciproque est claire. Deux générateurs d'un même idéal non nul se divisent l'un l'autre, donc sont associés, et égaux s'ils sont tous deux unitaires.

(ii) Comme $P = P \cdot 1 + Q \cdot 0$ appartient à $(D)$ , $D$ divise $P$ ; de même pour $Q$ . Comme $D \in (P) + (Q)$ , on écrit $D = UP + VQ$ , et un diviseur commun de $P$ et $Q$ divise $D$ . Si $UP + VQ = 1$ , alors $1 \in (D)$ , donc $D$ divise $1$ et est constant ; étant unitaire, $D = 1$ . La réciproque est le cas $D = 1$ de la relation de Bézout.

(iii) Écrivons $UP + VQ = 1$ . Alors $R = UPR + VQR$ , et $P$ divise les deux termes.

(iv) Écrivons $D = UP + VQ$ dans $K[X]$ . Dans $L[X]$ , $D$ divise encore $P$ et $Q$ , et tout diviseur commun de $P$ et $Q$ divise $UP + VQ = D$ . Le PGCD $D_L$ calculé dans $L[X]$ divise donc $D$ et est divisé par lui ; tous deux unitaires, ils sont égaux par (i), appliqué dans $L[X]$ .

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Remarque

Sur n'importe quel corps, $\begin{aligned} X^6 - 1 &= X^2(X^4 - 1) + (X^2 - 1), \\ X^4 - 1 &= (X^2 + 1)(X^2 - 1) : \end{aligned}$ l'algorithme d'Euclide s'arrête au second pas, et $(X^6 - 1) \wedge (X^4 - 1) = X^2 - 1$ , avec la relation de Bézout $X^2 - 1 = (X^6 - 1) - X^2(X^4 - 1)$ .

L'exposant $2$ est $6 \wedge 4$ : les divisions successives sur les polynômes reproduisent celles du nœud PGCD, Bézout sur les exposants.

Remarque

Le corps est indispensable : ${\mathbb Z}[X]$ n'est pas principal. Si l'idéal $(2) + (X)$ était engendré par un $D$ , celui-ci diviserait $2$ , donc serait une constante $\pm 1$ ou $\pm 2$ , par les degrés ; $\pm 2$ ne divise pas $X$ , et $\pm 1$ s'écrirait $2U + XV$ , ce qui est impossible, puisque le terme constant de $2U + XV$ est pair.

C'est pourquoi l'arithmétique de $\mathbb Z[X]$ passe par le lemme de Gauss (Lemme de Gauss).

Remarque

Le point (iv) dit que le PGCD ne dépend pas du corps où l'on calcule : l'algorithme d'Euclide n'utilise que les coefficients de $P$ et de $Q$ . Il servira à montrer qu'un polynôme premier avec sa dérivée n'a de racine multiple dans aucune extension (Séparabilité).

Repose sur

Division euclidienne des polynômes

Sert à

Polynômes irréductibles et factorisation unique