Proposition 1Théorie de Galois

Polynômes séparables et caractéristique

La dérivée $P'$ d'un polynôme $P$ est sa dérivée formelle (Dérivée formelle). Un polynôme est séparable s'il n'a que des racines simples dans un corps de décomposition (Corps de décomposition). La caractéristique d'un corps $K$ est $0$ si le morphisme ${\mathbb Z} \to K$ , $n \mapsto n \cdot 1$ , est injectif, et sinon le générateur positif de son noyau.

Énoncé

(i) $\alpha$ est racine multiple de $P$ si et seulement si $P(\alpha) = P'(\alpha) = 0$ .

(ii) $P$ est séparable si et seulement si $P$ et $P'$ sont premiers entre eux dans ${K[X]}$ , c'est-à-dire si $(P, P') = K[X]$ .

(iii) La caractéristique d'un corps est $0$ ou un nombre premier $p$ , et le sous-corps engendré par $1$ est alors isomorphe à ${\mathbb Q}$ ou à ${\mathbb Z/p\mathbb Z}$ .

(iv) En caractéristique nulle, tout polynôme irréductible est séparable.

Démonstration

(i) C'est le point (ii) du nœud Dérivée formelle, appliqué dans un corps contenant $\alpha$ .

(ii) L'idéal $(P, P')$ est engendré par le PGCD $D$ de $P$ et $P'$ (K[X] principal), qui divise $P$ et $P'$ , et s'écrit $UP + VP'$ . Si $D$ n'est pas constant, une racine de $D$ dans un corps de décomposition de $P$ est racine commune de $P$ et $P'$ , donc multiple par (i). Réciproquement, une racine commune $\alpha$ de $P$ et $P'$ annulerait $UP + VP' = 1$ .

(iii) Le noyau est un idéal de $\mathbb Z$ , de la forme $n\mathbb Z$ (Idéaux de ℤ). Le cas $n = 1$ est exclu, puisque $1 \neq 0$ dans un corps. Si $n = ab$ avec $1 < a, b < n$ , alors $(a \cdot 1)(b \cdot 1) = 0$ dans le corps $K$ , contradiction. L'image est $\mathbb Z/p\mathbb Z$ dans le second cas.

Dans le premier cas, $b \cdot 1 \neq 0$ pour tout $b \neq 0$ , et l'application $a/b \mapsto (a \cdot 1)(b \cdot 1)^{-1}$ de $\mathbb Q$ (Corps des fractions) dans $K$ est bien définie, puisque $ab' = a'b$ entraîne $(a \cdot 1)(b' \cdot 1) = (a' \cdot 1)(b \cdot 1)$ . Les formules de la somme et du produit des fractions en font un morphisme d'anneaux, injectif puisque $\mathbb Q$ est un corps (Corps, (iii)). Son image est le sous-corps engendré par $1$ , puisque tout sous-corps contient les $b \cdot 1$ et leurs inverses.

(iv) Si $P$ est irréductible de degré $n \geqslant 1$ , $P'$ a pour coefficient dominant $n\,a_n \neq 0$ , donc $P' \neq 0$ est de degré $< n$ . Un diviseur commun non constant de $P$ et $P'$ serait, par irréductibilité, associé à $P$ , et ne pourrait diviser $P'$ . On conclut par (ii).

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Remarque

En caractéristique $p$ , l'irréductibilité ne suffit plus. Soit $K$ le corps des fractions de $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[T]$ , et $P = X^p - T \in K[X]$ . Sa dérivée $pX^{p-1}$ est nulle, si bien que $P$ n'est pas séparable, par (ii). Dans un corps de décomposition, $P$ a une racine $\alpha$ , avec $\alpha^p = T$ , et $P = X^p - \alpha^p = (X - \alpha)^p$ par le binôme en caractéristique $p$ (Binôme de Newton, (iv)) ; un facteur unitaire de $P$ dans $K[X]$ est donc un $(X - \alpha)^k$ , par l'unicité de la factorisation (Irréductibles, (ii)).

Le polynôme $P$ est pourtant irréductible dans $K[X]$ . Si $0 < k < p$ , le coefficient de $X^{k-1}$ dans $(X - \alpha)^k$ est $-k\alpha$ ; s'il était dans $K$ , $\alpha$ y serait aussi, puisque $k \cdot 1 \neq 0$ , et l'on aurait $T = (f/g)^p$ avec $f, g \in (\mathbb Z/p\mathbb Z)[T]$ et $g \neq 0$ . L'égalité $Tg^p = f^p$ est impossible : son membre de gauche est de degré $1 + p \deg g$ , son membre de droite de degré $p \deg f$ , et ces deux entiers n'ont pas le même reste modulo $p$ . Les corps finis échappent à ce phénomène, comme le montrera le nœud Corps finis.

Repose sur

Corps de décomposition

Sert à

Extensions galoisiennes