Corps finis

(i) La caractéristique n'est pas nulle, ${\mathbb Z}$ ne s'injectant pas dans un ensemble fini ; elle est donc un premier $p$ (Séparabilité), et $F$ est un espace vectoriel de dimension finie $n$ sur $\mathbb F_p$, de cardinal $p^n$.

(ii) Le groupe $F^\times$ est fini, et tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique (Groupe multiplicatif, (iii)) : la preuve compte les éléments de chaque ordre, en bornant par $d$ le nombre de racines de $X^d - 1$ (Racines, (iii)).

(iii) Si $|F| = q$, tout $x \in F^\times$ vérifie $x^{q-1} = 1$ par Lagrange (Groupes cycliques, (i)), donc tout $x \in F$ annule $X^q - X$, qui a $q$ racines distinctes dans $F$ et vaut donc $\prod_{x \in F}(X - x)$, les degrés et les coefficients dominants étant égaux (Racines, (iii)) : $F$ est un corps de décomposition de ce polynôme, d'où l'unicité (Corps de décomposition).

Pour l'existence, $X^q - X$ a pour dérivée $-1$ en caractéristique $p$, donc est séparable ; ses $q$ racines dans un corps de décomposition forment un corps, car $(x + y)^q = x^q + y^q$ en caractéristique $p$ (Binôme de Newton, (iv)), tandis que $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$ et $(-x)^q = -x^q$, puisque $(-1)^q = -1$ si $p$ est impair et que $-1 = 1$ si $p = 2$.

(iv) Le Frobenius $\phi$ est un morphisme d'anneaux injectif, donc bijectif sur l'ensemble fini $F$. Il fixe $\mathbb F_p$, dont les éléments vérifient $x^p = x$ par ce qui précède appliqué à $q = p$.

Comme $x^{p^n} = x$ pour tout $x \in F$, par (iii), on a $\phi^n = \mathrm{id}$. Si $\phi^k = \mathrm{id}$ avec $0 < k < n$, tout $x$ annulerait $X^{p^k} - X$, qui a au plus $p^k < p^n$ racines (Racines, (iii)) : $\phi$ est d'ordre $n$ dans ${\operatorname{Aut}}(F/\mathbb F_p)$, de cardinal au plus $n$ par le point (iii) du nœud Dedekind, Artin. Donc $\operatorname{Aut}(F/\mathbb F_p) = \langle\phi\rangle$, d'ordre $n = [F:\mathbb F_p]$, et l'extension est galoisienne (Extensions galoisiennes, (b) ⇒ (c)).