Théorie

Théorie de Galois

Elle associe à une extension de corps $L/K$ le groupe ${\operatorname{Gal}}(L/K)$ des automorphismes de $L$ qui fixent $K$. Pour une extension galoisienne, la correspondance de Galois met en bijection les sous-groupes de ce groupe et les corps intermédiaires.

Un polynôme est résoluble par radicaux seulement si son groupe de Galois est résoluble ; comme ${\mathfrak S_5}$ ne l'est pas, il n'existe pas de formule générale par radicaux pour les équations de degré $5$ (Abel, Ruffini, Galois).

Un chapitre y traite les polynômes cyclotomiques, irréductibles sur $\mathbb Q$, et les constructions à la règle et au compas : la duplication du cube et la trisection de l'angle sont impossibles, et le polygone régulier à $n$ côtés est constructible si et seulement si $n$ est le produit d'une puissance de $2$ et de nombres premiers de Fermat distincts (Gauss, Wantzel).

Un autre chapitre y applique la cohomologie des groupes au groupe de Galois agissant sur $L$ et sur $L^\times$ : théorème 90 de Hilbert, sous ses formes multiplicative et additive, théorie de Kummer des extensions cycliques et théorie d'Artin-Schreier en caractéristique $p$. Il en tire la réciproque du théorème de Galois : en caractéristique nulle, un polynôme dont le groupe de Galois est résoluble est résoluble par radicaux. Il retrouve enfin les triplets pythagoriciens.

Première théorie qui descende à la fois des groupes finis et de ${\mathbb C}$, elle accueille aussi un chapitre sur les représentations linéaires des groupes finis : théorème de Maschke, lemme de Schur, caractères et relations d'orthogonalité, nombre de classes d'isomorphisme de représentations irréductibles égal au nombre de classes de conjugaison, et tables des caractères de $\mathfrak S_3$, de $\mathfrak S_4$, du groupe diédral $\mathcal D_4$ et du groupe des quaternions, qui ont la même table sans être isomorphes.