ChapitreThéorie de Galois

Représentations des groupes finis

Une représentation d'un groupe fini $G$ est un morphisme de $G$ dans le groupe des applications linéaires bijectives d'un espace vectoriel de dimension finie. Le chapitre démontre le théorème de Maschke, qui décompose toute représentation en somme directe de représentations irréductibles dès que $|G|$ est inversible dans le corps, par la moyenne d'un projecteur sur le groupe, puis le lemme de Schur, qui demande sur ${\mathbb C}$ le théorème de d'Alembert-Gauss : celui-ci est admis au nœud D'Alembert-Gauss de la branche $\mathbb C$, et démontré en analyse complexe par le théorème de Liouville, théorie qui n'est pas un ancêtre de ce chapitre.

Le caractère d'une représentation complexe, $g \mapsto \operatorname{tr}\rho(g)$, la détermine à isomorphisme près. Les caractères irréductibles forment une base orthonormée des fonctions constantes sur les classes de conjugaison ; ils sont donc en nombre égal à celui des classes, et la somme des carrés de leurs degrés vaut $|G|$. Les caractères de degré $1$ sont ceux de l'abélianisé. Le chapitre dresse les tables de $\mathfrak S_3$ et de $\mathfrak S_4$, puis montre que le groupe diédral $\mathcal D_4$ et le groupe des quaternions $\mathcal Q_8$, non isomorphes, ont la même table.

Il est placé dans la théorie de Galois parce qu'elle est la seule théorie de l'édifice qui ait à la fois les groupes finis et $\mathbb C$ pour parents ; il ne dépend d'aucun autre nœud de ce graphe. Aucune forme du choix n'intervient.