Caractère d'une représentation

(i) Comme $\rho$ est un morphisme, $\rho(e) = \mathrm{id}_V$, de trace $\dim V$. Ensuite $\rho(hgh^{-1}) = \rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}$ ; dans une base, de matrices $P$ pour $\rho(h)$ et $A$ pour $\rho(g)$, on a $$\operatorname{tr}(PAP^{-1}) = \operatorname{tr}(AP^{-1}P) = \operatorname{tr} A$$ (Trace, (ii)).

Si $f : V \to V'$ est un isomorphisme et $(b_j)$ une base de $V$, alors $(f(b_j))$ est une base de $V'$, et $\rho'(g)f(b_j) = f(\rho(g)b_j)$ : si $\rho(g)b_j = \sum_i a_{ij}b_i$, alors $\rho'(g)f(b_j) = \sum_i a_{ij}f(b_i)$. Les deux endomorphismes ont la même matrice dans ces bases, donc la même trace.

(ii) Dans la base de $V \times V'$ formée des $(b_j, 0)$ et des $(0, b'_k)$, la matrice de $(\rho \oplus \rho')(g)$ est diagonale par blocs, de blocs les matrices de $\rho(g)$ et de $\rho'(g)$ ; sa trace est la somme des deux traces.

(iii) Une forme hermitienne invariante. Fixons une base de $V$, de dimension $d$, et notons $A_g$ la matrice de $\rho(g)$, de sorte que $A_{gh} = A_gA_h$. Posons $$Q = \sum_{h \in G} A_h^*A_h \in \mathcal M_d(\mathbb C).$$

Pour $x \neq 0$ dans $\mathbb C^d$, on a, en notant $y_h = A_hx$, $$x^*Qx = \sum_h y_h^*y_h \geqslant y_e^*y_e = x^*x > 0,$$ chaque terme étant un réel positif. Donc $Qx \neq 0$ : $Q$ est injective, donc inversible (Théorème du rang).

Puisque $h \mapsto hg$ est une bijection de $G$, $$\begin{aligned} A_g^*QA_g &= \sum_h (A_hA_g)^*(A_hA_g) \\ &= \sum_h A_{hg}^*A_{hg} = Q. \end{aligned}$$ En multipliant à gauche par $Q^{-1}$ et à droite par $A_g^{-1}$, on obtient $A_g^{-1} = Q^{-1}A_g^*Q$.

Conclusion. Par (ii) du nœud Trace, $$\begin{aligned} \chi_V(g^{-1}) &= \operatorname{tr}(Q^{-1}A_g^*Q) = \operatorname{tr}(A_g^*) \\ &= \sum_i \overline{a_{ii}} = \overline{\chi_V(g)}, \end{aligned}$$ la conjugaison étant additive (Conjugué, module, (ii)).

(iv) Le morphisme $\rho$ est ici la multiplication par $\lambda(g)$, d'où $\lambda(gh) = \lambda(g)\lambda(h)$, puis $\lambda(g)^m = \lambda(g^m) = \lambda(e) = 1$ (Groupes cycliques, (i)).

Le réel positif $t = |\lambda(g)|$ vérifie $t^m = 1$ (Conjugué, module, (iii)) ; si $t > 1$, on aurait $t^m > 1$, et si $t < 1$, $t^m < 1$, donc $t = 1$. Enfin $\lambda(g)\overline{\lambda(g)} = 1$ et $\lambda(g)\lambda(g^{-1}) = \lambda(e) = 1$.

(v) Dans la base $(e_x)$, le coefficient diagonal d'indice $x$ de la matrice de $\rho_X(g)$ vaut $1$ si $g \cdot x = x$ et $0$ sinon : la trace compte les points fixes. Comme $K^X = \mathbb Cs \oplus H$, par (ii) et par Représentations, (ii), on a $\chi = 1 + \chi_H$, la droite $\mathbb Cs$ portant la représentation triviale. Pour la représentation régulière, $gh = h$ équivaut à $g = e$.