Théorème 6Algèbre linéaire

Trace d'une matrice, d'un endomorphisme

La trace d'une matrice carrée $A = (a_{ij}) \in {\mathcal M_n}(K)$ est la somme de ses coefficients diagonaux, $\operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ . Deux matrices $A$ et $A'$ de $\mathcal M_n(K)$ sont semblables s'il existe $P \in \mathcal M_n(K)$ inversible telle que $A' = P^{-1}AP$ .

Énoncé

(i) $\operatorname{tr}$ est une application linéaire de $\mathcal M_n(K)$ dans $K$ , et $\operatorname{tr}{}^tA = \operatorname{tr} A$ .

(ii) Pour $A \in \mathcal M_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal M_{p,n}(K)$ , $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ . Pour deux matrices $C, H$ de $\mathcal M_n(K)$ , $\operatorname{tr}({}^tC\,H) = \sum_{i,j} c_{ij}h_{ij}$ .

(iii) Si $A$ et $A'$ sont les matrices d'un même endomorphisme $u$ de $E$ , de dimension finie, dans deux bases, il existe $P$ inversible telle que $A' = P^{-1}AP$ , et $\operatorname{tr} A' = \operatorname{tr} A$ . Ce nombre est la trace de $u$ , notée $\operatorname{tr} u$ .

Démonstration

(i) La linéarité est immédiate, et ${}^tA$ a les mêmes coefficients diagonaux que $A$ .

(ii) On a $\begin{aligned} \operatorname{tr}(AB) &= \sum_i \sum_k a_{ik}b_{ki} \\ &= \sum_k \sum_i b_{ki}a_{ik} = \operatorname{tr}(BA), \end{aligned}$ les sommes finies se permutant, par récurrence sur le nombre de termes à partir de l'additivité (Combinaisons linéaires, (ii)).

Le coefficient diagonal d'indice $j$ de ${}^tC\,H$ est $\sum_i c_{ij}h_{ij}$ , et l'on somme sur $j$ .

(iii) Soient $\mathcal B$ et $\mathcal B'$ les deux bases, et $P = \operatorname{Mat}_{\mathcal B', \mathcal B}(\mathrm{id})$ la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ , dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal B'$ dans $\mathcal B$ . Elle est inversible, d'inverse $\operatorname{Mat}_{\mathcal B, \mathcal B'}(\mathrm{id})$ (Matrices, (iv)). Toujours par (ii), $A' = \operatorname{Mat}_{\mathcal B', \mathcal B'}(\mathrm{id} \circ u \circ \mathrm{id}) = P^{-1}AP.$

Enfin, le produit étant associatif (Matrices, (iii)), le point (ii) du présent énoncé, appliqué à $P^{-1}$ et $AP$ , donne $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(AP\,P^{-1}) = \operatorname{tr} A.$

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Remarque

La trace n'est invariante que par permutation circulaire des facteurs, et l'erreur la plus répandue est de l'oublier. Avec les matrices élémentaires $E_{11}$ , $E_{12}$ et $E_{21}$ de $\mathcal M_2(K)$ , $\operatorname{tr}(E_{11}E_{12}E_{21}) = \operatorname{tr}(E_{12}E_{21}E_{11}) = 1$ , mais $E_{12}E_{11}E_{21} = 0$ a pour trace $0$ .

De même, la trace n'est pas multiplicative : $\operatorname{tr}(I_2 \cdot I_2) = 2$ , alors que $(\operatorname{tr} I_2)^2 = 4$ .

Remarque

La formule $\operatorname{tr}({}^tC\,H) = \sum c_{ij}h_{ij}$ fait de $(C, H) \mapsto \operatorname{tr}({}^tC\,H)$ le produit scalaire usuel de $\mathcal M_n(\mathbb R) \cong \mathbb R^{n^2}$ ; c'est sous cette forme qu'elle exprime la différentielle du déterminant, dans la formule de Liouville des équations différentielles.

Repose sur

Matrices d'une application linéaire

Sert à

Valeurs propres et diagonalisation