Théorème 7Algèbre linéaire

Valeurs propres et diagonalisation

Soit $E$ de dimension finie $n \geqslant 1$ et $u \in {\mathcal L}(E)$ . Un scalaire $\lambda \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $u(x) = \lambda x$ ; un tel $x$ est un vecteur propre associé à $\lambda$ , et $E_\lambda = \operatorname{Ker}(u - \lambda\,\mathrm{id})$ est le sous-espace propre.

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres, c'est-à-dire dans laquelle sa matrice est diagonale.

Pour un endomorphisme $u$ d'un espace vectoriel quelconque, un sous-espace $F$ est stable par $u$ si $u(F) \subset F$ ; la restriction de $u$ à $F$ est alors un endomorphisme de $F$ . Chaque sous-espace propre $E_\lambda$ est stable par $u$ , puisque $u(x) = \lambda x$ appartient à $E_\lambda$ pour $x \in E_\lambda$ .

Énoncé

(i) $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ .

(ii) Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre. En particulier, $u$ a au plus $n$ valeurs propres.

(iii) Si $u$ a $n$ valeurs propres distinctes, il est diagonalisable.

(iv) Si la matrice de $u$ dans une base est diagonale, de coefficients $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ , alors $\operatorname{tr} u = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ et $\det u = \lambda_1 \cdots \lambda_n$ .

Démonstration

(i) $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $u - \lambda\,\mathrm{id}$ n'est pas injectif, c'est-à-dire, en dimension finie, n'est pas bijectif (Théorème du rang), ce qui équivaut à $\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0$ (Déterminant, (ii)).

(ii) Par récurrence sur le nombre $k$ de vecteurs. Pour $k = 1$ , un vecteur propre est non nul.

Soient $x_1, \dots, x_k$ associés à $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ distincts, et $\sum_i a_ix_i = 0$ . En appliquant $u - \lambda_k\,\mathrm{id}$ , il vient $\sum_{i < k} a_i(\lambda_i - \lambda_k)x_i = 0 ;$ par hypothèse de récurrence, $a_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ , donc $a_i = 0$ pour $i < k$ , puis $a_kx_k = 0$ et $a_k = 0$ .

Une famille libre a au plus $n$ éléments (Dimension, (ii)).

(iii) Des vecteurs propres associés aux $n$ valeurs propres forment une famille libre à $n$ éléments, donc une base (Dimension, (ii)), dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale.

(iv) La trace de $u$ est celle de sa matrice (Trace, (iii)). Le déterminant de $u$ est celui de sa matrice (Déterminant d'une matrice, (i)) ; dans la formule $\sum_\sigma \varepsilon(\sigma)\prod_j a_{\sigma(j)\,j}$ , pour $\sigma \neq \mathrm{id}$ , il existe $j$ avec $\sigma(j) \neq j$ , et le produit contient le coefficient $a_{\sigma(j)\,j}$ , nul ; il ne reste que le terme de $\sigma = \mathrm{id}$ , $\prod_j \lambda_j$ .

□

Remarque

Sur $\mathbb R$ , pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)^2 - 1 = (\lambda - 1)(\lambda - 3)$ : les valeurs propres sont $1$ et $3$ , de vecteurs propres $(1, -1)$ et $(1, 1)$ . On retrouve $\operatorname{tr} A = 4 = 1 + 3$ et $\det A = 3 = 1 \times 3$ .

L'endomorphisme

A

envoie le cercle unité sur une ellipse. Les deux droites propres, en rouge et en bleu, sont conservées : le vecteur

(1, 1)/\sqrt2

est multiplié par

3

, le vecteur

(1, -1)/\sqrt2

est fixe. Un vecteur hors de ces droites, en vert, change de direction :

(1, 0)

devient

(2, 1)

Remarque

L'existence de valeurs propres dépend du corps. La matrice $J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , rotation d'un quart de tour du plan réel, vérifie $\det(J - \lambda I) = \lambda^2 + 1 > 0$ pour tout réel $\lambda$ : elle n'a aucune valeur propre réelle, puisque aucune droite n'est conservée. Sur le corps des nombres complexes, elle en a deux, $\pm i$ , et elle y est diagonalisable.

Une matrice réelle symétrique, au contraire, a toujours une valeur propre réelle, et même une base orthonormée de vecteurs propres : c'est le théorème spectral, démontré en analyse fonctionnelle par la compacité de la sphère unité (Théorème spectral).

Remarque

La réciproque de (iii) est fausse : pour $n \geqslant 2$ , l'identité de $E$ est diagonalisable, avec une seule valeur propre.

Et toute matrice n'est pas diagonalisable : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ n'a que la valeur propre $1$ , dont le sous-espace propre est la droite engendrée par $(1, 0)$ , et il n'existe donc pas de base de vecteurs propres.

Remarque

L'étude générale, par le polynôme caractéristique $\det(XI - A)$ et le polynôme minimal, demande l'anneau des polynômes $K[X]$ , construit dans la branche de $\mathbb Z$ , dont l'algèbre linéaire ne dépend pas. Elle est menée en algèbre commutative, au chapitre Réduction des endomorphismes : le polynôme minimal (Polynômes d'endomorphismes), le polynôme caractéristique (Polynôme caractéristique), le critère selon lequel $u$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples (Diagonalisation), puis la forme de Jordan (Forme de Jordan), qui ramène la matrice ci-dessus à elle-même : c'est le bloc $J_2(1)$ .

Repose sur

Trace d'une matrice, d'un endomorphisme Groupe symétrique et déterminant

Sert à

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