Théorème 9Analyse fonctionnelle

Théorème spectral en dimension finie

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n \geqslant 1$ , muni d'un produit scalaire. Il est complet, et toute application linéaire $u : E \to E$ est continue (Équivalence des normes, (iv)) : $E$ est un espace de Hilbert, et $u$ est autoadjoint dès que $\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$ pour tous $x, y$ .

Une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ est orthonormée si $\langle e_i, e_j \rangle$ vaut $1$ pour $i = j$ et $0$ sinon, comme au nœud Espaces de Hilbert. Une matrice $A \in {\mathcal M_n}(\mathbb R)$ est symétrique si ${}^tA = A$ (Matrices) ; une matrice $P \in \mathcal M_n(\mathbb R)$ est orthogonale si ${}^tP\,P = {I_n}$ .

Énoncé

Soit $u : E \to E$ linéaire et autoadjoint.

(i) Le quotient de Rayleigh $R_u$ atteint sur $E \setminus \{0\}$ un maximum $\lambda_{\max}$ et un minimum $\lambda_{\min}$ , qui sont des valeurs propres de $u$ . Toute valeur propre est comprise entre eux, et pour tout $x \in E$ $\lambda_{\min}\|x\|^2 \leqslant \langle u(x), x \rangle \leqslant \lambda_{\max}\|x\|^2.$

(ii) Théorème spectral. Il existe une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ , $u(e_i) = \lambda_i e_i$ . Pour tout $x \in E$ , $\begin{aligned} x &= \sum_i \langle x, e_i \rangle\, e_i, \\ u(x) &= \sum_i \lambda_i \langle x, e_i \rangle\, e_i, \\ \langle u(x), x \rangle &= \sum_i \lambda_i \langle x, e_i \rangle^2. \end{aligned}$ Les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $u$ , et chacune, $\lambda$ , figure parmi eux autant de fois que la dimension de $E_\lambda$ , sa multiplicité.

(iii) Forme matricielle. Pour toute matrice symétrique $A \in \mathcal M_n(\mathbb R)$ , il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D\, {}^tP.$ Une matrice $A$ est symétrique si et seulement si $x \mapsto Ax$ est autoadjointe pour le produit scalaire usuel. La matrice $P$ est inversible, d'inverse ${}^tP$ , et les coefficients diagonaux de $D$ sont les valeurs propres de $A$ , répétées selon leur multiplicité.

Démonstration

(i) La sphère unité $S = \{x : \|x\| = 1\}$ n'est pas vide, puisque $x/\|x\|$ lui appartient pour tout $x \neq 0$ . Elle est fermée, comme image réciproque de $\{1\}$ par la norme, qui est continue (Espaces normés, (ii)), et bornée : elle est compacte (Équivalence des normes, (iv)).

L'application $x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ est continue sur $E$ , puisque $u$ l'est et que, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} &|\langle a, b \rangle - \langle a', b' \rangle| \\ &\quad \leqslant \|a - a'\|\,\|b\| + \|a'\|\,\|b - b'\|. \end{aligned}$ Elle atteint donc sur le compact non vide $S$ un maximum et un minimum (Compacts de ℝ, (iii)).

Comme $R_u(x) = \langle u(x/\|x\|), x/\|x\| \rangle$ pour $x \neq 0$ , ce sont le maximum $\lambda_{\max}$ et le minimum $\lambda_{\min}$ de $R_u$ sur $E \setminus \{0\}$ , et le point (iv) du nœud Opérateurs autoadjoints montre que ce sont des valeurs propres. Si $u(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$ , alors $R_u(x) = \lambda$ , compris entre eux. L'encadrement s'obtient en multipliant $\lambda_{\min} \leqslant R_u(x) \leqslant \lambda_{\max}$ par $\|x\|^2$ , et il est évident pour $x = 0$ .

(ii) Raisonnons par récurrence sur $n$ , l'énoncé portant sur tous les espaces de dimension $n$ munis d'un produit scalaire, et sur tous les endomorphismes autoadjoints de ces espaces. Par (i), $u$ a un vecteur propre $e_1$ de norme $1$ . La droite $F = \mathbb R e_1$ est stable par $u$ , donc $G = F^\perp$ l'est aussi (Opérateurs autoadjoints, (ii)).

Le sous-espace $G$ est le noyau de la forme linéaire $x \mapsto \langle x, e_1 \rangle$ , qui vaut $1$ en $e_1$ ; son image est $\mathbb R$ , et $\dim G = n - 1$ par le théorème du rang (Théorème du rang). Si $n = 1$ , la famille $(e_1)$ , libre à un élément, est une base (Dimension, (ii)). Sinon, la restriction de $u$ à $G$ est un endomorphisme autoadjoint de $G$ , muni du produit scalaire induit (Opérateurs autoadjoints, (ii)), et l'hypothèse de récurrence fournit une base orthonormée $(e_2, \dots, e_n)$ de $G$ formée de vecteurs propres.

Les vecteurs $e_1, \dots, e_n$ sont de norme $1$ et deux à deux orthogonaux, puisque $e_2, \dots, e_n \in G$ . Une telle famille est libre : si $\sum_i a_i e_i = 0$ , le produit scalaire avec $e_j$ donne $a_j = 0$ . Formée de $n$ vecteurs, c'est une base (Dimension, (ii)).

Pour $x = \sum_i x_i e_i$ , le produit scalaire avec $e_j$ donne $x_j = \langle x, e_j \rangle$ , d'où les trois formules, la dernière par orthonormalité. Enfin $u(x) = \lambda x$ s'écrit $\sum_i (\lambda_i - \lambda) x_i e_i = 0$ , c'est-à-dire $x_i = 0$ pour tout $i$ tel que $\lambda_i \neq \lambda$ . Le sous-espace $E_\lambda$ a donc pour base les $e_i$ tels que $\lambda_i = \lambda$ : ils sont au nombre de $\dim E_\lambda$ , et $E_\lambda$ est nul si $\lambda$ n'est aucun des $\lambda_i$ .

(iii) Sur $\mathbb R^n$ , l'expression $\langle x, y \rangle = \sum_i x_i y_i$ est un produit scalaire : elle est bilinéaire et symétrique, et $\sum_i x_i^2 > 0$ si $x \neq 0$ . Si $A = (a_{ij})$ est symétrique, l'application $x \mapsto Ax$ est autoadjointe : en permutant les deux sommes finies, comme au nœud Trace, (ii), puis en utilisant $a_{ij} = a_{ji}$ , $\begin{aligned} \langle Ax, y \rangle &= \sum_i \sum_j a_{ij} x_j y_i \\ &= \sum_j x_j \sum_i a_{ji} y_i = \langle x, Ay \rangle. \end{aligned}$ Réciproquement, si $x \mapsto Ax$ est autoadjointe, la base canonique $(\varepsilon_j)$ donne $a_{ij} = \langle A\varepsilon_j, \varepsilon_i \rangle = \langle \varepsilon_j, A\varepsilon_i \rangle = a_{ji}$ .

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ la base fournie par (ii), $P$ la matrice dont la $j$ -ième colonne est $e_j$ , et $D$ la matrice diagonale de coefficients $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . Le coefficient d'indice $(i, j)$ de ${}^tP\,P$ est $\sum_k p_{ki}\, p_{kj} = \langle e_i, e_j \rangle$ , si bien que ${}^tP\,P = I_n$ .

La matrice $P$ est celle de l'identité, de la base $(e_j)$ dans la base canonique. Elle est inversible, et la matrice de $x \mapsto Ax$ dans la base $(e_j)$ , qui est $D$ puisque $Ae_j = \lambda_j e_j$ , vaut $P^{-1}AP$ (Trace, (iii)). En multipliant ${}^tP\,P = I_n$ à droite par $P^{-1}$ , le produit étant associatif (Matrices, (iii)), on obtient ${}^tP = P^{-1}$ , puis $A = PDP^{-1} = PD\,{}^tP.$ Les valeurs propres et leurs multiplicités sont celles que donne (ii).

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Remarque

Pour la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix},$ on a $Ax = x + (x_1 + x_2 + x_3)(1, 1, 1)$ , donc $R_A(x) = 1 + (x_1 + x_2 + x_3)^2/\|x\|^2$ . Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, ce quotient est compris entre $1$ et $1 + 3 = 4$ ; son maximum $4$ est atteint en $e_1 = \frac1{\sqrt3}(1, 1, 1)$ , qui est bien un vecteur propre, de valeur propre $4$ .

L'orthogonal de $e_1$ est le plan $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ , sur lequel $A$ est l'identité : toute base orthonormée de ce plan poursuit la récurrence, par exemple $e_2 = \frac1{\sqrt2}(1, -1, 0)$ et $e_3 = \frac1{\sqrt6}(1, 1, -2)$ . On obtient $A = PD\,{}^tP$ avec $D$ diagonale de coefficients $4, 1, 1$ et $P = \frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix} \sqrt2 & \sqrt3 & 1 \\ \sqrt2 & -\sqrt3 & 1 \\ \sqrt2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$

La valeur propre $1$ est double, et c'est ce qui rend $P$ non unique : dans le plan propre, n'importe quelle base orthonormée convient.

Remarque

Le point (i) a une lecture géométrique. Pour $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ , la forme $\langle Ax, x \rangle = 5x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2$ varie entre $1$ et $6$ sur le cercle unité. Son maximum est atteint en $\pm\frac1{\sqrt5}(2, 1)$ et son minimum en $\pm\frac1{\sqrt5}(1, -2)$ , qui sont des vecteurs propres, de valeurs propres $6$ et $1$ .

Le cercle unité est pris entre les lignes de niveau

\langle Ax, x \rangle = 1

, en bleu, et

\langle Ax, x \rangle = 6

, en rouge, qu'il touche aux points de minimum et de maximum. En ces points, la ligne de niveau est tangente au cercle, et sa normale, dirigée par

Ax

, est radiale :

Ax

est colinéaire à

x

. En un autre point du cercle, en vert, la flèche

Ax

n'est pas colinéaire à la direction radiale de

x

, en pointillé.

C'est le calcul du point (iv) du nœud Opérateurs autoadjoints : au point de maximum $x_0$ , la dérivée en $t = 0$ de $\langle A(x_0 + ty), x_0 + ty \rangle - 6\|x_0 + ty\|^2$ est nulle dans toute direction $y$ .

Remarque

La démonstration usuelle passe par les nombres complexes : le polynôme caractéristique a une racine complexe par le théorème de d'Alembert-Gauss, et l'autoadjonction force cette racine à être réelle. Ni $\mathbb C$ ni le théorème de d'Alembert-Gauss (Liouville) ne sont des ancêtres de cette branche ; la compacité de la sphère, c'est-à-dire en dernier ressort le théorème de Borel-Lebesgue (Borel-Lebesgue), en tient lieu, et aucun choix n'intervient.

C'est déjà par les extrema d'une forme quadratique sur la sphère que Cauchy, en 1829, aborde la recherche des axes principaux et établit que les racines de l'équation correspondante sont réelles (T. Hawkins, « Cauchy and the spectral theory of matrices », Historia Mathematica 2, 1975, p. 1-29).

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire qu'une matrice diagonalisable se diagonalise en base orthonormée. La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ a deux valeurs propres distinctes, $1$ et $2$ , et elle est diagonalisable (Valeurs propres, (iii)). Mais ses sous-espaces propres sont les droites engendrées par $(1, 0)$ et $(1, 1)$ , qui ne sont pas orthogonales ; une base de vecteurs propres prend un vecteur sur chacune, et aucune n'est orthonormée.

La symétrie est en effet nécessaire : si $A = PD\,{}^tP$ avec $D$ diagonale de coefficients $d_k$ , le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A$ vaut $\sum_k p_{ik}\, d_k\, p_{jk}$ , expression symétrique en $i$ et $j$ . Une matrice réelle se diagonalise donc dans une base orthonormée si et seulement si elle est symétrique.

Remarque

Le point (ii) est la réduction des formes quadratiques en base orthonormée : dans les coordonnées $y_i = \langle x, e_i \rangle$ , la forme $\langle u(x), x \rangle$ s'écrit $\sum_i \lambda_i y_i^2$ , sans terme croisé. Pour la matrice du schéma ci-dessus, la courbe $5x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2 = 6$ s'écrit $6y_1^2 + y_2^2 = 6$ : c'est une ellipse de demi-axes $1$ et $\sqrt 6$ , dirigés par les vecteurs propres.

Les nombres de $\lambda_i$ strictement positifs et strictement négatifs ne dépendent même pas de la base, orthonormée ou non, dans laquelle on réduit la forme : c'est la loi d'inertie de Sylvester, démontrée au chapitre Formes quadratiques du calcul différentiel (Loi d'inertie). La signature, couple de ces deux nombres, y classe les formes quadratiques réelles (Classification réelle), et la réduction de Gauss y fournit des bases orthogonales sans produit scalaire ni valeur propre (Réduction de Gauss).

Remarque

Les matrices orthogonales sont celles qui conservent le produit scalaire de $\mathbb R^n$ : un calcul de sommes, comme en (iii), donne $\langle Px, Py \rangle = \langle x, y \rangle$ . Elles forment le groupe orthogonal $O(n)$ , sous-variété de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ de dimension $n(n - 1)/2$ (Sous-variétés de ℝⁿ) et groupe de Lie (Groupes de Lie).

Le compte des dimensions éclaire (iii) : une matrice symétrique dépend de $n(n + 1)/2$ coefficients, autant que $n$ valeurs propres et une matrice de $O(n)$ , puisque $n + n(n - 1)/2 = n(n + 1)/2$ .

Remarque

Le théorème s'applique aux matrices hessiennes. Pour $f$ de classe $C^2$ sur un ouvert de $\mathbb R^n$ , la matrice $(\partial_i\partial_j f(a))$ est symétrique par le théorème de Schwarz (Schwarz, intégrales à paramètre), donc se diagonalise en base orthonormée, et en un point critique le signe de ses valeurs propres décide du comportement de $f$ au second ordre.

Pour $f(x_1, x_2) = x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ , la hessienne $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $6$ et $-2$ , de vecteurs propres $(1, 1)$ et $(1, -1)$ ; en effet $f(t, t) = 6t^2$ et $f(t, -t) = -2t^2$ , et l'origine est un col. Le critère général, qui passe par la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ , est démontré au chapitre Formes quadratiques du calcul différentiel : un point critique où la hessienne est définie positive est un minimum local strict, et un point où elle est indéfinie est un col (Extrema).

Repose sur

Opérateurs autoadjoints d'un espace de Hilbert

Sert à

Théorème spectral des opérateurs compacts autoadjoints